Encontre as derivadas parciais de 1^a ordem das seguintes funções:
f) f(x, y)=cos (x^2+2 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada parcial em relação a fx = partialpartial x cos(x^2 + 2y) = -sin(x^2 + 2y) cdot partialpartial x(x^2 + 2y) , que a gente chama de fx = -sin(x^2 + 2y) cdot 2x = -2x sin(x^2 + 2y) . Para isso, tratamos como uma constante.
A função é , onde .
A derivada da função cosseno é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a .
Então:
A derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é , porque é constante.
Logo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a fy = partialpartial y cos(x^2 + 2y) = -sin(x^2 + 2y) cdot partialpartial y(x^2 + 2y) , que a gente chama de fy = -sin(x^2 + 2y) cdot 2 = -2 sin(x^2 + 2y) . Para isso, tratamos como uma constante.
A função continua sendo , onde .
A derivada da função cosseno é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a .
Então:
A derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é .
Logo:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
fx = -2x sin(x^2 + 2y)
fy = -2 sin(x^2 + 2y)

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