Encontre as derivadas parciais de 1^a ordem das seguintes funções:
d) f(x, y)=e^x^2 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão de encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo de derivadas parciais, onde vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar funções compostas, especialmente exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de fx(x, y) = e^x^2 y cdot partialpartial x(x^2 y) em relação a partialpartial x(x^2 y) = 2 y cdot x^2 y - 1 , que chamaremos de fx(x, y) = e^x^2 y cdot 2 y cdot x^2 y - 1 .
A função é . Para derivar isso em relação a , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , então:
Agora, vamos derivar em relação a . Como é a potência, a derivada é:
Substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de fy(x, y) = e^x^2 y cdot partialpartial y(x^2 y) em relação a partialpartial y(x^2 y) = x^2 y cdot ln(x) cdot 2 , chamada de partialpartial y(x^2 y) = 2 ln(x) cdot x^2 y .
Novamente, usando a regra da cadeia para fy(x, y) = e^x^2 y cdot 2 ln(x) cdot x^2 y :
Para derivar em relação a , usamos a propriedade de exponenciais com variáveis no expoente:
Simplificando:
Então, substituindo de volta:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função fx(x, y) = 2 y cdot x^2 y - 1 cdot e^x^2 y são:
fy(x, y) = 2 ln(x) cdot x^2 y cdot e^x^2 y

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