Nas questões de 11 a 15 , determine os números nos quais a função dada é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir em quais números a função dada é contínua. A função $ F(x) $ é uma função por partes, ou seja, ela se comporta de um jeito para $ x < 2 $ e de outro para $ x \geq 2 $. Nosso objetivo aqui é verificar onde essa função não tem “quebras” ou “saltos”, ou seja, onde ela é contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua. De maneira simples, uma função é contínua em um ponto se você consegue desenhá-la sem levantar o lápis do papel nesse ponto. Para funções por partes, o ponto crítico geralmente é onde as partes se encontram, que no nosso caso é quando $ x = 2 $.
Passo 3
Então, vamos verificar a continuidade da função $ F(x) $ em dois aspectos:
- Verificar se a função é contínua nas partes onde $ x < 2 $ e $ x \geq 2 $.
- Verificar se não há quebra na junção dessas partes, ou seja, em $ x = 2 $.
Passo 4
Para $ x < 2 $, a função é $ F(x) = 3x - 1 $. Essa é uma função linear, e sabemos que funções lineares são contínuas em todo o seu domínio. Então, está tudo certo nessa parte.
Passo 5
Para $ x \geq 2 $, a função é $ F(x) = 4 - x^2 $. Essa também é uma função polinomial, que, assim como as lineares, são contínuas em todo o seu domínio. Então, essa parte também está contínua.
Passo 6
Agora, a parte que pode dar problema é em $ x = 2 $. Precisamos verificar se o limite da função à esquerda de 2 é igual ao limite à direita de 2 e se ambos são iguais ao valor da função em 2.
Passo 7
Vamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda ($ x \to 2^- $):
Passo 8
Agora, o limite quando $ x $ se aproxima de 2 pela direita ($ x \to 2^+ $):
Passo 9
O valor da função em $ x = 2 $ é:
Passo 10
Agora, vamos comparar:
- Limite pela esquerda: 5
- Limite pela direita: 0
- Valor da função em 2: 0
Como os limites pela esquerda e pela direita não são iguais, a função não é contínua em $ x = 2 $.
Resposta
A função $ F(x) $ é contínua para todos os números reais menos em $ x = 2 $.