Encontre as derivadas parciais de 1^a ordem das seguintes funções:
e) f(x, y)=x sen(x-y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso está na área de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para derivar funções que têm mais de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando a gente tira a derivada parcial de uma função em relação a uma das variáveis, a outra variável é tratada como uma constante. Nesse caso, temos duas derivadas parciais: uma em relação a e outra em relação a .

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , denotada por .
A função é . Aqui, temos um produto de duas funções de : e . Para derivar o produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
  • partial fpartial x = 1 cdot sen(x - y) + x cdot cos(x - y) então
  • então (usamos a regra da cadeia aqui, pois é a função interna e sua derivada em relação a é 1)
Então:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , denotada por .
Novamente, a função é . Aqui, tratamos como uma constante e derivamos apenas em relação a .

Passo 6

Derivando em relação a partialpartial y sen(x - y) = cos(x - y) cdot (-1) = -cos(x - y) :
Então, multiplicando pela constante partial fpartial y = x cdot (-cos(x - y)) = -x cos(x - y) :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e
partial fpartial x = sen(x - y) + x cos(x - y)

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