Encontre as derivadas parciais de
ordem das seguintes funções:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso está na área de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para derivar funções que têm mais de uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando a gente tira a derivada parcial de uma função em relação a uma das variáveis, a outra variável é tratada como uma constante. Nesse caso, temos duas derivadas parciais: uma em relação a
e outra em relação a
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
.
A função é . Aqui, temos um produto de duas funções de
:
e . Para derivar o produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
-
então - então
(usamos a regra da cadeia aqui, pois é a função interna e sua derivada em relação a é 1)
Então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
.
Novamente, a função é . Aqui, tratamos
como uma constante e derivamos apenas em relação a
.
Passo 6
Derivando em relação a
:
Então, multiplicando pela constante
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e