Resolva o PVI lt d yd t+2 y=t^2, y(2)=4

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por:
t dfracdydt + 2y = t^2, y(2) = 4
Este exercício está relacionado a equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma padrão. Dividimos todos os termos por $ t $ para isolar $ \dfrac{dy}{dt} $:
t
Agora, temos uma equação diferencial linear na forma $ \dfrac{dy}{dt} + P(t)y = Q(t) $, onde $ P(t) = \dfrac{2}{t} $ e $ Q(t) = t $.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante $ \mu(t) $, que é dado por:
mu(t)
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral dfrac2t dt = e^2 ln t = t^2

Passo 4

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(t) y $:
mu(t) y
Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
dfracddt ( t^2 y ) = t^3
o que resulta em:
t
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 5

Resolvendo para $ y $:
y

Passo 6

Aplicamos a condição inicial $ y(2) = 4 $ para encontrar $ C $:
y(2) = 4

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = dfract^24 + dfrac12t^2

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