Resolva o PVI
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por:
Este exercício está relacionado a equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma padrão. Dividimos todos os termos por $ t $ para isolar $ \dfrac{dy}{dt} $:
Agora, temos uma equação diferencial linear na forma $ \dfrac{dy}{dt} + P(t)y = Q(t) $, onde $ P(t) = \dfrac{2}{t} $ e $ Q(t) = t $.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante $ \mu(t) $, que é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Passo 4
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(t) y $:
Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
o que resulta em:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 5
Resolvendo para $ y $:
Passo 6
Aplicamos a condição inicial $ y(2) = 4 $ para encontrar $ C $:
Resposta
A solução do PVI é: