Esboce os gráficos das funções a seguir:
e) f(x, y)=x-y^2

Passo 1

A função é dada por f(x,y)=x-y^2, isto é, estamos no contexto de superfícies quádricas em R^3 e queremos esboçar a superfície z=f(x,y). Para resolver, vamos usar cortes da superfície por planos paralelos aos planos coordenados.

Passo 2

Vamos primeiro olhar as seções paralelas ao plano xy mantendo y constante. Para cada constante y=a temos
z=x - a^2
que é uma reta no plano xz de inclinação 1 e intercepto -a^2. Assim, para y=0 tem-se z=x, para y=1 e y=-1 temos z=x-1, e assim por diante. Essas retas são paralelas e “descem” conforme |y| aumenta.

Passo 3

Agora olhemos às seções por planos de equação x=b (planos paralelos ao plano yz). Fixando x=b obtemos
z=b - y^2
uma parábola no plano yz que se abre para baixo com vértice em (y,z)=(0,b). Para cada valor de b temos uma cópia dessa parábola deslocada para cima ou para baixo.

Passo 4

Para esboçar a superfície basta combinar essas duas informações: temos retas paralelas ao eixo x (vindas das fatias y=const) e parábolas abertas para baixo ao longo de y (vindas das fatias x=const).

Passo 5

Desenhe o sistema de eixos x,y,z (com z para cima e y para dentro da página), trace algumas retas z=x - a^2 para a=0,1,2 etc. e depois algumas parábolas z=b - y^2 para b=0,1,2 etc. O conjunto dessas curvas forma um cilindro parabólico que se abre no sentido negativo de y.

Resposta

A superfície é um cilindro parabólico de equação z=x-y^2, com geratrizes (linhas) paralelas ao eixo x e seções xz como retas z=x-a^2 e seções yz como parábolas z=b-y^2.

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