Esboce os gráficos das funções a seguir:
e)
e)
Passo 1
A função é dada por
, isto é, estamos no contexto de superfícies quádricas em
e queremos esboçar a superfície
. Para resolver, vamos usar cortes da superfície por planos paralelos aos planos coordenados.
Passo 2
Vamos primeiro olhar as seções paralelas ao plano
mantendo
constante. Para cada constante
temos
que é uma reta no plano
de inclinação 1 e intercepto
. Assim, para
tem-se
, para
e
temos
, e assim por diante. Essas retas são paralelas e “descem” conforme
aumenta.
Passo 3
Agora olhemos às seções por planos de equação
(planos paralelos ao plano
). Fixando
obtemos
uma parábola no plano
que se abre para baixo com vértice em
. Para cada valor de
temos uma cópia dessa parábola deslocada para cima ou para baixo.
Passo 4
Para esboçar a superfície basta combinar essas duas informações: temos retas paralelas ao eixo
(vindas das fatias
) e parábolas abertas para baixo ao longo de
(vindas das fatias
).
Passo 5
Desenhe o sistema de eixos
(com
para cima e
para dentro da página), trace algumas retas
para
etc. e depois algumas parábolas
para
etc. O conjunto dessas curvas forma um cilindro parabólico que se abre no sentido negativo de
.
Resposta
A superfície é um cilindro parabólico de equação
, com geratrizes (linhas) paralelas ao eixo
e seções
como retas
e seções
como parábolas
.