Encontre as derivadas parciais de primeira ordem das funções
g(u, v)=u^3+v^3u^2+v^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função g(u,v)=u^3+v^3u^2+v^2. O conteúdo envolve derivadas parciais e vamos usar a regra do quociente.

Passo 2

Para aplicar a regra do quociente, definimos N(u,v)=u^3+v^3 e D(u,v)=u^2+v^2. A forma geral é
[
\frac{\partial}{\partial u}\Bigl(\frac{N}{D}\Bigr)=\frac{D,N_u - N,D_u}{D^2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de N e D em relação a u: Nu=3u^2 e Du=2u. Substituindo na fórmula:
partial gpartial u=(u^2+v^2)cdot3u^2-(u^3+v^3)cdot2u(u^2+v^2)^2
Simplificando o numerador, temos 3u^4+3u^2v^2-2u^4-2uv^3=u^4+3u^2v^2-2uv^3. Logo
partial gpartial u=u^4+3u^2v^2-2uv^3(u^2+v^2)^2

Passo 4

De modo análogo, para a derivada parcial em relação a v usamos Nv=3v^2 e Dv=2v. Aplicando a mesma regra:
partial gpartial v=(u^2+v^2)cdot3v^2-(u^3+v^3)cdot2v(u^2+v^2)^2
O numerador simplifica para 3u^2v^2+3v^4-2u^3v-2v^4=v^4+3u^2v^2-2u^3v. Portanto
partial gpartial v=v^4+3u^2v^2-2u^3v(u^2+v^2)^2

Resposta

partial gpartial u=u^4+3u^2v^2-2uv^3(u^2+v^2)^2, partial gpartial v=v^4+3u^2v^2-2u^3v(u^2+v^2)^2

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