Encontre as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(x, y)=2 x+3 x^2 y^4

Passo 1

A função dada é f(x,y)=2x+3x{2}y{4}. O conteúdo aqui é derivada parcial de primeira ordem. Para resolver, vamos usar a definição de derivada parcial: ao derivar em relação a x, tratamos y como constante, e ao derivar em relação a y, tratamos x como constante.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, mantemos y fixo. A derivada de 2x em relação a x é 2. A derivada de 3x^2y^4 em relação a x y^4 como constante, então aplicamos a regra do poder:
ddxl(3x^2y^4r)=3y^4cdot2x=6xy^4
Somando as partes, obtemos partial fpartial x=2+6xy^4.

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, mantemos x fixo. A derivada de 2x em relação a y é zero. Na parte 3x^2y^4, 3x^2 é constante e aplicamos a regra do poder a y^4:
ddyl(3x^2y^4r)=3x^2cdot4y^3=12x^2y^3
Portanto, partial fpartial y=12x^2y^3.

Resposta

partial fpartial x=2+6xy^4, partial fpartial y=12x^2y^3

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