Considere a função z^1 / 2, onde z=1 denota o ramo principal da função raiz quadrada. A fungan tem um polo em Res(f(z), 1) ? Em caso afirmativo, determine .

Passo 1

Estamos lidando com a função f(z)=z^41 - z^1/2, onde z^1/2 é o ramo principal da raiz quadrada. O enunciado pede para verificar se há pólo em z=1 e, em caso afirmativo, calcular . O tema envolve singularidades isoladas e cálculo de resíduos, e vamos usar a definição de pólo simples junto com a fórmula .

Passo 2

Primeiro, observamos que em z=1 o denominador 1 - z^1/2 se anula, pois raiz1=1. Como o ramo principal de raizz é analítico em torno de z=1, esse zero de 1-raizz em z=1 é simples. Portanto, f(z) tem um pólo simples em z=1.

Passo 3

Para calcular o resíduo, aplicamos a fórmula de pólo simples:
Multiplicamos numerador e denominador por Res(f,1)=limzto1(z-1)z^41-raizz para eliminar a raiz no denominador:
1+raizz
Logo,

Resposta

-2

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