Encontre as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
f(x, y, z)=cos (x^2+2 y)-e^4 x-z^4 y+y^3

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z)=cosl(x^2+2yr);-;e^,4x - z^4y;+;y^3
Os conteúdos que vamos usar são: regra da cadeia para funções compostas, derivada de cos, derivada de e^(cdot) e derivada de potenciais.

Passo 2

Para partial fpartial x aplicamos a regra da cadeia nos dois primeiros termos e notamos que y^3 é constante em x.
Derivada de cos(x^2+2y):
partialpartial xcos(x^2+2y) =-sin(x^2+2y),partialpartial x(x^2+2y) =-sin(x^2+2y)cdot2x
Derivada de -e^4x - z^4y:
partialpartial xl(-e^4x - z^4yr) =-e^4x - z^4y,partialpartial x(4x - z^4y) =-e^4x - z^4ycdot4
Logo,
partial fpartial x =-2xsin(x^2+2y);-;4e^4x - z^4y

Passo 3

Para partial fpartial y temos três contribuições.
Derivada de cos(x^2+2y):
partialpartial ycos(x^2+2y) =-sin(x^2+2y),partialpartial y(x^2+2y) =-2sin(x^2+2y)
Derivada de -e^4x - z^4y:
partialpartial yl(-e^4x - z^4yr) =-e^4x - z^4y,partialpartial y(4x - z^4y) =-e^4x - z^4ycdot(-z^4) = z^4e^4x - z^4y
Derivada de y^3:
ddyy^3=3y^2
Portanto,
partial fpartial y =-2sin(x^2+2y);+;z^4e^4x - z^4y;+;3y^2

Passo 4

Para partial fpartial z só o termo -e^4x - z^4y depende de z.
Aplicando regra da cadeia:
partialpartial zl(-e^4x - z^4yr) =-e^4x - z^4y,partialpartial z(4x - z^4y) =-e^4x - z^4ycdot(-4z^3y) =4yz^3e^4x - z^4y
Os outros termos não dependem de z.

Resposta

partial fpartial x =-2xsin(x^2+2y)-4e^4x - z^4y,
partial fpartial y =-2sin(x^2+2y)+z^4e^4x - z^4y+3y^2,
partial fpartial z =4yz^3e^4x - z^4y

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