Resolva os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira. Encontre a solução de estado estacionário, se existir.
onde p, C são constantes positivas.
llut=K ux x+C e^-p x & se 0<x<L e t>0, u(0, t)=u(L, t)=0 & se t >= 0, u(x, 0)=f(x) & se 0 <= x <= L,

Passo 1

O enunciado é a equação do calor com fonte dependente de x:
ut=K,uxx+C e^-p x, 0<x<L,;t>0,
com condições de contorno u(0,t)=u(L,t)=0 e condição inicial u(x,0)=f(x).
O objetivo é encontrar a solução estacionária v(x), tal que vt=0, e então obter a solução completa por separação de variáveis para o termo transiente.

Passo 2

Para achar a solução estacionária v(x) impomos
0=K,v''(x)+C e^-p x, v(0)=0,;v(L)=0
Ou seja,
v''(x)=-CKe^-p x
Integramos uma vez:
v'(x)=integral -CKe^-p x,dx =CKpe^-p x+A,
onde A é constante de integração.

Passo 3

Integramos novamente:
v(x)=integrall(CKpe^-p x+Ar)dx =-CKp^2e^-p x+A x+B,
com B outra constante. Usamos as condições em x=0 e x=L:
v(0)=0implies -CKp^2+B=0Longrightarrow B=CKp^2,
v(L)=0implies -CKp^2e^-pL+A,L+CKp^2=0 ;Longrightarrow; A=CKp^2Ll(e^-pL-1r)

Passo 4

Substituindo A e B obtemos
v(x) =-CKp^2e^-p x +C,(e^-pL-1)Kp^2L,x +CKp^2
É a solução de estado estacionário, pois vt=0.

Passo 5

Definimos a parte transiente w(x,t)=u(x,t)-v(x). Então
wt= ut-0 = K,uxx+C e^-p x-l(K,v''+C e^-p xr) =K,wxx,
com condições de contorno homogêneas
w(0,t)=u(0,t)-v(0)=0, w(L,t)=0,
e condição inicial
w(x,0)=f(x)-v(x)

Passo 6

A solução de wt=K,wxx com contorno zero é dada por série em senos:
w(x,t) =sumn=1^inftybn,e^-K,(npi/L)^2,t,sin!l(npi xLr),
onde os coeficientes bn vêm da expansão de w(x,0):
bn=2Lintegral0^Ll[f(x)-v(x)r], sin!l(npi xLr),dx

Resposta

A solução completa é
u(x,t) =v(x) +sumn=1^inftybn,e^-K,(npi/L)^2,t, sin!l(npi xLr),
sendo
v(x) =-CKp^2e^-p x +C,(e^-pL-1)Kp^2L,x +CKp^2,
e
bn =2Lintegral0^Ll[f(x)-v(x)r] sin!l(npi xLr),dx
O estado estacionário, atingido quando ttoinfty, é exatamente v(x).

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