Encontre as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
f(x, y)=2 x yx+y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=2xyx+y,
cujo domínio é (x,y)mid x+yneq0. Vamos usar a regra do quociente para funções de duas variáveis, isto é, se f=g/h então
partial fpartial u =(partial g/partial u),h - g,(partial h/partial u)h^2,
onde u é x ou y.

Passo 2

Para partial fpartial x, definimos
g(x,y)=2xy, h(x,y)=x+y
Calculamos
partial gpartial x=2y, partial hpartial x=1
Aplicando a regra do quociente:
partial fpartial x =(2y)(x+y)-(2xy)(1)(x+y)^2 =2yx+2y^2-2xy(x+y)^2 =2y^2(x+y)^2

Passo 3

Para partial fpartial y, mantemos
g(x,y)=2xy, h(x,y)=x+y
e obtemos
partial gpartial y=2x, partial hpartial y=1
Novamente a regra do quociente dá
partial fpartial y =(2x)(x+y)-(2xy)(1)(x+y)^2 =2x^2+2xy-2xy(x+y)^2 =2x^2(x+y)^2

Resposta

partial fpartial x = 2y^2(x+y)^2, partial fpartial y = 2x^2(x+y)^2

Exercícios relacionados