Verifique que
é uma solução particular de
Passo 1
Vamos resolver um exercício de equações diferenciais lineares. O problema nos pede para verificar se $ y_{p1} = 3 e^{2x} $ é uma solução particular da equação diferencial
Para isso, precisaremos substituir $ y_{p1} $ na equação e verificar se a igualdade é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma solução particular. Em uma equação diferencial linear não homogênea, além da solução geral da equação homogênea, precisamos encontrar uma solução específica que satisfaça a equação completa. Essa é a nossa $ y_{p1} = 3 e^{2x} $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ y_{p1} $. Sabemos que:
A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Agora, substituímos $ y_{p1} $, $ y_{p1}’ $ e $ y_{p1}’’ $ na equação diferencial original:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar o lado esquerdo da igualdade:
Portanto:
Resposta
Como a igualdade é verdadeira, $ y_{p1} = 3 e^{2x} $ é realmente uma solução particular da equação diferencial dada.