Verifique que yp 1=3 e^2 x é uma solução particular de
y^prime prime-6 y^prime+5 y=-9 e^2 x

Passo 1

Vamos resolver um exercício de equações diferenciais lineares. O problema nos pede para verificar se $ y_{p1} = 3 e^{2x} $ é uma solução particular da equação diferencial
yp1 = 3 e^2x
Para isso, precisaremos substituir $ y_{p1} $ na equação e verificar se a igualdade é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma solução particular. Em uma equação diferencial linear não homogênea, além da solução geral da equação homogênea, precisamos encontrar uma solução específica que satisfaça a equação completa. Essa é a nossa $ y_{p1} = 3 e^{2x} $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ y_{p1} $. Sabemos que:
yp1
A primeira derivada é:
yp1 = 3 e^2x
E a segunda derivada é:
yp1' = ddx(3 e^2x) = 6 e^2x

Passo 4

Agora, substituímos $ y_{p1} $, $ y_{p1}’ $ e $ y_{p1}’’ $ na equação diferencial original:
yp1
Substituindo:
yp1'

Passo 5

Vamos simplificar o lado esquerdo da igualdade:
12 e^2x - 36 e^2x + 15 e^2x = (12 - 36 + 15) e^2x = (-9) e^2x
Portanto:
-9 e^2x = -9 e^2x

Resposta

Como a igualdade é verdadeira, $ y_{p1} = 3 e^{2x} $ é realmente uma solução particular da equação diferencial dada.

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