lim x +infty(x-4x-1)^x+2=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrarmos o valor de lim x +infty(x-4x-1)^x+2. Aqui, estamos lidando com limites de funções exponenciais onde a base e o expoente dependem de x. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de limites, exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. A fração x-4x-1 pode ser simplificada dividindo numerador e denominador por x:
x-4x-1 = x(1 - 4x)x(1 - 1x) = 1 - 4x1 - 1x
À medida que x tende ao infinito, os termos 4x e 1x tendem a zero, então a fração se aproxima de 1 - 01 - 0 = 1.

Passo 3

No entanto, como a base está próxima de 1 e o expoente cresce sem limite, temos uma forma indeterminada do tipo 1^infty. Para resolver isso, usamos uma técnica que envolve o logaritmo natural. Vamos chamar a expressão original de L:
L = (x-4x-1)^x+2
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
ln L = (x + 2) cdot ln(x-4x-1)

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite de ln L quando x tende ao infinito. Vamos simplificar ln(x-4x-1):
ln(x-4x-1) = ln(1 - 4x1 - 1x) = ln(1 - 3x - 1)
Para x grande, podemos usar a aproximação ln(1 + y) approx y quando y é pequeno:
ln(1 - 3x - 1) approx -3x - 1

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de ln L:
ln L approx (x + 2) cdot (-3x - 1) = -3 cdot x + 2x - 1
Agora, simplificando x + 2x - 1:
x + 2x - 1 = x(1 + 2x)x(1 - 1x) = 1 + 2x1 - 1x approx 1 + 3x
Quando x tende ao infinito, 3x tende a zero, então:
ln L approx -3

Passo 6

Agora, para encontrar L, vamos reverter o logaritmo natural:
L = e^ln L approx e^-3

Resposta

lim x +infty(x-4x-1)^x+2 = e^-3

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