Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrarmos o valor de
. Aqui, estamos lidando com limites de funções exponenciais onde a base e o expoente dependem de
. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de limites, exponenciais e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. A fração
pode ser simplificada dividindo numerador e denominador por
:
À medida que
tende ao infinito, os termos
e
tendem a zero, então a fração se aproxima de
.
Passo 3
No entanto, como a base está próxima de 1 e o expoente cresce sem limite, temos uma forma indeterminada do tipo
. Para resolver isso, usamos uma técnica que envolve o logaritmo natural. Vamos chamar a expressão original de
:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito. Vamos simplificar
:
Para
grande, podemos usar a aproximação
quando
é pequeno:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão de
:
Agora, simplificando
:
Quando
tende ao infinito,
tende a zero, então:
Passo 6
Agora, para encontrar
, vamos reverter o logaritmo natural: