Encontre as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes funções
f(x, y)=y cos (x)-x e^2 y.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função f(x,y)=ycos(x)-x e^2y. O conteúdo é derivadas parciais de funções de duas variáveis. Vamos usar a definição de derivada parcial: ao derivar em relação a uma variável, tratamos a outra como constante.

Passo 2

Para calcular fx=partial f/partial x, tratamos y como constante. Derivando termo a termo: de ycos(x) vem -ysin(x) e de -x e^2y vem -e^2y. Logo,
fx=-ysin(x)-e^2y

Passo 3

Para calcular fy=partial f/partial y, tratamos x como constante. Derivando termo a termo: de ycos(x) vem cos(x) e de -x e^2y vem -2x e^2y. Logo,
fy=cos(x)-2x e^2y

Passo 4

Agora as derivadas de segunda ordem. Definimos
fxx=partialpartial x(fx), fxy=partialpartial y(fx), fyx=partialpartial x(fy), fyy=partialpartial y(fy)
Calculando cada uma:
fxx=-ycos(x),
fxy=-sin(x)-2e^2y,
fyx=-sin(x)-2e^2y,
fyy=-4x e^2y

Resposta

fx=-ysin(x)-e^2y
fy=cos(x)-2x e^2y
fxx=-ycos(x)
fxy=fyx=-sin(x)-2e^2y
fyy=-4x e^2y

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