Em cada uma das funções abaixo determine as derivadas parciais como indicado
z=e^x y sen^2(x^2 y), de

Passo 1

Temos a função z=e^xysin^2(x^2y). O objetivo é calcular as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y. Vamos usar regra do produto (pois é um produto de duas funções de x,y) e regra da cadeia (para derivar as composições).

Passo 2

Para partial zpartial x, escrevemos z=u(x,y),v(x,y) com u=e^xy e v=sin^2(x^2y). Pela regra do produto:
partial zpartial x=partial upartial x,v+u,partial vpartial x
Agora cada termo:
partial upartial x=y,e^xy,
partial vpartial x=2sin(x^2y)cos(x^2y)cdotpartial(x^2y)partial x =2sin(x^2y)cos(x^2y)cdot2xy =4xysin(x^2y)cos(x^2y)
Substituindo:
partial zpartial x=y,e^xysin^2(x^2y)+e^xycdot4xysin(x^2y)cos(x^2y)

Passo 3

Para partial zpartial y, usamos de novo z=u,v com os mesmos u,v. Pela regra do produto:
partial zpartial y=partial upartial y,v+u,partial vpartial y
Calculamos cada derivada:
partial upartial y=x,e^xy,
partial vpartial y=2sin(x^2y)cos(x^2y)cdotpartial(x^2y)partial y =2sin(x^2y)cos(x^2y)cdot x^2 =2x^2sin(x^2y)cos(x^2y)
Logo:
partial zpartial y=x,e^xysin^2(x^2y)+e^xycdot2x^2sin(x^2y)cos(x^2y)

Resposta

partial zpartial x=y,e^xysin^2(x^2y)+4xy,e^xysin(x^2y)cos(x^2y), partial zpartial y=x,e^xysin^2(x^2y)+2x^2,e^xysin(x^2y)cos(x^2y)

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