- Escreva seu NOME em LETRAS DE FORMA em todas as folhas entregues.
- Escreva as respostas claramente, de forma legível.
- Toda pergunta precisa de JUSTIFICATIVAS claras e concisas em frases inteiras. Respostas sem justificativas NÃO serão consideradas.
Questão
Pontuação
Resultado
1
2.50
2
2.50
3
2.50
4
2.50
Total:
10.00
- (2.50 pontos) Determine os valores de máximo e mínimo locais, e os pontos de sela de
Questão | Pontuação | Resultado |
1 | 2.50 | |
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Total: | 10.00 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão de determinar os valores de máximo e mínimo locais, além dos pontos de sela, para a função $ f(x, y) = x^{4} + y^{4} - 4xy + 3 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Isso é feito calculando as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ e igualando-as a zero.
As derivadas parciais são:
Passo 3
Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Substituindo a equação (2) na equação (1):
Elevando ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz:
Isso nos dá as soluções:
Como $ x^{8} = 1 $, temos $ x = 1 $ ou $ x = -1 $.
Portanto, os pontos críticos são:
- $ (0, 0) $
- $ (1, 1) $
- $ (-1, -1) $
Passo 4
Para classificar esses pontos, vamos calcular as derivadas de segunda ordem e o discriminante $ D $:
O discriminante é dado por:
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico.
- Para $ (0, 0) $:
Como $ D < 0 $, $ (0, 0) $ é um ponto de sela.
- Para $ (1, 1) $:
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, $ (1, 1) $ é um ponto de mínimo local.
- Para $ (-1, -1) $:
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, $ (-1, -1) $ é um ponto de mínimo local.
Resposta
A função $ f(x, y) = x^{4} + y^{4} - 4xy + 3 $ possui:
- Um ponto de sela em $ (0, 0) $.
- Pontos de mínimo local em $ (1, 1) $ e $ (-1, -1) $.