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Questão Pontuação Resultado
1 2.50
2 2.50
3 2.50
4 2.50
Total: 10.00
  1. (2.50 pontos) Determine os valores de máximo e mínimo locais, e os pontos de sela de
|c|c|c| hline Questão & Pontuação & Resu

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão de determinar os valores de máximo e mínimo locais, além dos pontos de sela, para a função $ f(x, y) = x^{4} + y^{4} - 4xy + 3 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Isso é feito calculando as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ e igualando-as a zero.
As derivadas parciais são:
f
x

Passo 3

Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
4x^3 - 4y = 0 Rightarrow x^3 = y (1)
4y^3 - 4x = 0 Rightarrow y^3 = x (2)
Substituindo a equação (2) na equação (1):
x^3 = y = x^1/3
Elevando ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz:
x^9 = x
Isso nos dá as soluções:
x^9 - x = x(x^8 - 1) = 0 Rightarrow x = 0 ou x^8 = 1
Como $ x^{8} = 1 $, temos $ x = 1 $ ou $ x = -1 $.
Portanto, os pontos críticos são:
  1. $ (0, 0) $
  2. $ (1, 1) $
  3. $ (-1, -1) $

Passo 4

Para classificar esses pontos, vamos calcular as derivadas de segunda ordem e o discriminante $ D $:
D
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 12x^2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 12y^2
O discriminante é dado por:
fxy = partial^2 fpartial x partial y = -4
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico.
  1. Para $ (0, 0) $:
D = fxx fyy - (fxy)^2
Como $ D < 0 $, $ (0, 0) $ é um ponto de sela.
  1. Para $ (1, 1) $:
D
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, $ (1, 1) $ é um ponto de mínimo local.
  1. Para $ (-1, -1) $:
(0, 0)
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, $ (-1, -1) $ é um ponto de mínimo local.

Resposta

A função $ f(x, y) = x^{4} + y^{4} - 4xy + 3 $ possui:
  • Um ponto de sela em $ (0, 0) $.
  • Pontos de mínimo local em $ (1, 1) $ e $ (-1, -1) $.

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