- Escreva seu NOME em LETRAS DE FORMA em todas as folhas entregues.
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- Toda pergunta precisa de JUSTIFICATIVAS claras e concisas em frases inteiras. Respostas sem justificativas NÃO serão consideradas.
Questão
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- (2.50 pontos) Considere a função
© Estude a diferenciabilidade de
no ponto
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Passo 1
Então, galera, o que estamos vendo aqui é uma função de duas variáveis, $ f(x, y) $, que tem uma definição diferente quando estamos no ponto $ (0,0) $ e quando estamos em qualquer outro ponto. A questão é saber se essa função é diferenciável no ponto $ (0,0) $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como verificar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano tangente nesse ponto. Isso significa que, perto desse ponto, a função se comporta quase como uma função linear.
Passo 3
Para verificar a diferenciabilidade, a gente precisa primeiro conferir se a função é contínua nesse ponto. Se não for contínua, já sabemos que não é diferenciável. No nosso caso, a função $ f(x, y) $ é definida para $ (0,0) $ como 0, e para outros pontos como $ \frac{x y{3}}{x{2}+y^{2}} $. Vamos ver se o limite dessa função quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ é igual a 0.
Passo 4
Vamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) \to (0,0) $. Uma boa maneira de fazer isso é converter para coordenadas polares, onde $ x = r \cos\theta $ e $ y = r \sin\theta $. Assim, a função fica:
Agora, quando $ r \to 0 $, $ r^2 \to 0 $, então todo o termo $ r^2 \cos\theta \sin^3\theta $ também tende a 0, independentemente do valor de $ \theta $. Portanto, o limite é 0, o que mostra que a função é contínua em $ (0,0) $.
Passo 5
Agora que sabemos que a função é contínua em $ (0,0) $, vamos verificar se as derivadas parciais existem nesse ponto. As derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ no ponto $ (0,0) $ são necessárias para determinar a diferenciabilidade.
Passo 6
Vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (0,0) $:
Substituindo na função, temos $ f(h, 0) = \frac{h \cdot 03}{h2 + 0^2} = 0 $, então:
Analogamente, para a derivada parcial em relação a $ y $:
Aqui, $ f(0, k) = \frac{0 \cdot k3}{02 + k^2} = 0 $, então:
Portanto, ambas as derivadas parciais existem e são iguais a 0 no ponto $ (0,0) $.
Passo 7
Com as derivadas parciais conhecidas, o próximo passo é verificar se a função realmente pode ser aproximada por um plano tangente nesse ponto. Isso envolve calcular o limite:
Substituindo os valores que já encontramos:
Vamos analisar esse limite.
Passo 8
Para simplificar, vamos usar coordenadas polares novamente, onde $ h = r \cos\theta $ e $ k = r \sin\theta $. Substituindo na expressão, temos:
Agora, observamos que quando $ r \to 0 $, todo o termo $ r \cos\theta \sin^3\theta $ tende a 0, pois $ r $ está multiplicando.
Passo 9
Como o limite é 0, concluímos que a função $ f(x, y) $ pode ser bem aproximada por um plano tangente no ponto $ (0,0) $, e, portanto, ela é diferenciável nesse ponto.
Resposta
A função $ f(x, y) $ é diferenciável no ponto $ (0,0) $.