Encontre as derivadas parciais com relação a x e com relação a y para cada uma das funções de duas variáveis reais dadas.
f(x, y)=x^{3}+y^{3}+6 x y

Passo 1

O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{3}+y^{3}+6xy com relação a x e com relação a y.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=x^{3}+y^{3}+6xy.
  • Precisamos encontrar \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.

Passo 2

O que é uma derivada parcial? Intuitivamente, é a taxa de variação da função quando se varia apenas uma variável e a outra fica fixa.
Definição por limite:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Na prática, para funções polinomiais usamos regras de diferenciação (linearidade, regra da potência, fator constante) aplicando-as mantendo a variável não diferenciada como constante.

Passo 3

Regras úteis (explicadas de forma simples):
  • Linearidade: a derivada parcial de uma soma é a soma das derivadas parciais: \frac{\partial}{\partial x}(u+v)=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial x}.
  • Constante em relação à variável que está sendo diferenciada: se y é tratado como constante ao derivar em relação a x, então \dfrac{\partial}{\partial x}(y)=0.
  • Regra da potência (para variável que está sendo diferenciada): se g(x)=x^{n} então \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. O mesmo vale em derivada parcial em que a variável é a que aparece na potência.

Passo 4

Aplicando as regras termo a termo para \dfrac{\partial f}{\partial x}:
  • Derivada de x^{3} em relação a x: pela regra da potência, \dfrac{\partial}{\partial x}x^{3}=3x^{2}.
  • Derivada de y^{3} em relação a x: aqui y é constante, então \dfrac{\partial}{\partial x}y^{3}=0.
  • Derivada de 6xy em relação a x: 6 e y são constantes ao derivar em x, e \dfrac{\partial}{\partial x}x=1, logo \dfrac{\partial}{\partial x}(6xy)=6y.
Somando os termos:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^{2}+0+6y=3x^{2}+6y.

Passo 5

Aplicando as regras termo a termo para \dfrac{\partial f}{\partial y}:
  • Derivada de x^{3} em relação a y: x é constante, então \dfrac{\partial}{\partial y}x^{3}=0.
  • Derivada de y^{3} em relação a y: pela regra da potência, \dfrac{\partial}{\partial y}y^{3}=3y^{2}.
  • Derivada de 6xy em relação a y: 6 e x são constantes ao derivar em y, e \dfrac{\partial}{\partial y}y=1, logo \dfrac{\partial}{\partial y}(6xy)=6x.
Somando os termos:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0+3y^{2}+6x=3y^{2}+6x.

Passo 6

Pequena verificação numérica (opcional, só para ganhar confiança): em (x,y)=(1,2),
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=3\cdot1^{2}+6\cdot2=3+12=15, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=3\cdot2^{2}+6\cdot1=3\cdot4+6=12+6=18.
Isso faz sentido: variações em x e y dão esses números naquele ponto.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^{2}+6y
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3y^{2}+6x

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