Encontre as derivadas parciais com relação a
e com relação a
para cada uma das funções de duas variáveis reais dadas.
Passo 1
O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de
com relação a
e com relação a
.
Informações dadas:
- A função é
. - Precisamos encontrar
e .
Passo 2
O que é uma derivada parcial? Intuitivamente, é a taxa de variação da função quando se varia apenas uma variável e a outra fica fixa.
Definição por limite:
Na prática, para funções polinomiais usamos regras de diferenciação (linearidade, regra da potência, fator constante) aplicando-as mantendo a variável não diferenciada como constante.
Passo 3
Regras úteis (explicadas de forma simples):
- Linearidade: a derivada parcial de uma soma é a soma das derivadas parciais:
- Constante em relação à variável que está sendo diferenciada: se
é tratado como constante ao derivar em relação a , então . - Regra da potência (para variável que está sendo diferenciada): se
então . O mesmo vale em derivada parcial em que a variável é a que aparece na potência.
Passo 4
Aplicando as regras termo a termo para
:
- Derivada de
em relação a : pela regra da potência, . - Derivada de
em relação a : aqui é constante, então . - Derivada de
em relação a : e são constantes ao derivar em , e , logo .
Somando os termos:
Passo 5
Aplicando as regras termo a termo para
:
- Derivada de
em relação a : é constante, então . - Derivada de
em relação a : pela regra da potência, . - Derivada de
em relação a : e são constantes ao derivar em , e , logo .
Somando os termos:
Passo 6
Pequena verificação numérica (opcional, só para ganhar confiança): em
,
Isso faz sentido: variações em
e
dão esses números naquele ponto.