Encontre as derivadas parciais com relação a x e com relação a y para cada uma das funções de duas variáveis reais dadas.
z=\sin \left(\frac{x}{1+y}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de z em relação a x e em relação a y. A função dada é
z=\sin\!\left(\frac{x}{1+y}\right).
Informações relevantes:
  • A variável independente são x e y.
  • Ao calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} considera-se y constante.
  • Ao calcular \dfrac{\partial z}{\partial y} considera-se x constante.
  • A função é uma composição: z=\sin(u) com u=\dfrac{x}{1+y}. Isso indica que usaremos a regra da cadeia.

Passo 2

Lembrete rápido e didático da regra da cadeia para derivadas parciais: se z=\sin(u) e u=u(x,y), então
\frac{\partial z}{\partial x}=\cos(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=\cos(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui u(x,y)=\dfrac{x}{1+y}=x(1+y)^{-1}. Vou calcular primeiro \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y}.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x} mantendo y constante. Como u=x(1+y)^{-1}, tratando 1+y como constante,
\frac{\partial u}{\partial x}=(1+y)^{-1}=\frac{1}{1+y}.
Explicação rápida: derivada de x em x\cdot C (com C constante) é C.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para obter \dfrac{\partial z}{\partial x}. Usando \dfrac{\partial z}{\partial x}=\cos(u)\cdot\dfrac{\partial u}{\partial x} e substituindo u=\dfrac{x}{1+y} e \dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{1}{1+y},
\frac{\partial z}{\partial x} = \cos\!\left(\frac{x}{1+y}\right)\cdot\frac{1}{1+y}.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial y} mantendo x constante. Escrevendo u=x(1+y)^{-1} e derivando em relação a y:
\frac{\partial u}{\partial y}=x\cdot\frac{d}{dy}\bigl((1+y)^{-1}\bigr) = x\cdot\bigl(-1\bigr)(1+y)^{-2} = -\frac{x}{(1+y)^2}.
Explicação: usou-se a regra da potência \dfrac{d}{dy}(t^{-1})=-t^{-2} com t=1+y, e depois a regra da cadeia (derivada de 1+y é 1).

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia para \dfrac{\partial z}{\partial y}. Usando \dfrac{\partial z}{\partial y}=\cos(u)\cdot\dfrac{\partial u}{\partial y} e substituindo u=\dfrac{x}{1+y} e \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{x}{(1+y)^2},
\frac{\partial z}{\partial y} = \cos\!\left(\frac{x}{1+y}\right)\cdot\left(-\frac{x}{(1+y)^2}\right) = -\frac{x}{(1+y)^2}\,\cos\!\left(\frac{x}{1+y}\right).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{1+y}\cos\!\left(\frac{x}{1+y}\right)
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{x}{(1+y)^2}\cos\!\left(\frac{x}{1+y}\right)

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