Encontre as derivadas parciais com relação a
e com relação a
para cada uma das funções de duas variáveis reais dadas.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e em relação a
. A função dada é
Informações relevantes:
- A variável independente são
e . - Ao calcular
considera-se constante. - Ao calcular
considera-se constante. - A função é uma composição:
com . Isso indica que usaremos a regra da cadeia.
Passo 2
Lembrete rápido e didático da regra da cadeia para derivadas parciais: se
e
, então
Aqui
. Vou calcular primeiro
e
.
Passo 3
Calcular
mantendo
constante. Como
, tratando
como constante,
Explicação rápida: derivada de
em
(com
constante) é
.
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia para obter
. Usando
e substituindo
e
,
Passo 5
Calcular
mantendo
constante. Escrevendo
e derivando em relação a
:
Explicação: usou-se a regra da potência
com
, e depois a regra da cadeia (derivada de
é
).
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia para
. Usando
e substituindo
e
,