Encontre as derivadas parciais com relação a
e com relação a
para cada uma das funções de duas variáveis reais dadas.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de
em relação a
e em relação a
. As informações relevantes são:
- A função é
. - Para que
e estejam definidas no contexto real, deve-se ter e .
As perguntas explícitas são: - Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Simplificar a expressão usando propriedades de potências e logaritmos para ficar mais fácil de derivar. Primeiro escrever a raiz como potência:
Aplicando
em cima:
Passo 3
Usar a propriedade do logaritmo
para tirar o expoente:
Passo 4
Explicar a propriedade do logaritmo do produto para separar as variáveis. Para
e
vale
. Assim:
Esse formato é muito conveniente porque agora
e
aparecem somados em termos separados, facilitando as derivadas parciais.
Passo 5
Lembrar a definição de derivada parcial: ao calcular
trata-se
como constante e deriva-se em relação a
. A derivada de
em relação a
é
. Aplicando isso à expressão obtida:
Como
é tratado como constante,
. Então
Passo 6
Analogamente, para
tratamos
como constante. A derivada de
em relação a
é
. Assim:
Aqui
, logo
Passo 7
Resumo e observação sobre domínio: as derivadas parciais obtidas valem para todos os pontos com
e
, que é o domínio natural da função original.