Encontre as derivadas parciais com relação a x e com relação a y para cada uma das funções de duas variáveis reais dadas.
F(x, y)=\ln \sqrt{x y}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de F(x,y)=\ln \sqrt{x y} em relação a x e em relação a y. As informações relevantes são:
  • A função é F(x,y)=\ln \sqrt{x y}.
  • Para que \ln e \sqrt{\cdot} estejam definidas no contexto real, deve-se ter x>0 e y>0.
    As perguntas explícitas são:
  • Calcular \dfrac{\partial F}{\partial x}(x,y).
  • Calcular \dfrac{\partial F}{\partial y}(x,y).

Passo 2

Simplificar a expressão usando propriedades de potências e logaritmos para ficar mais fácil de derivar. Primeiro escrever a raiz como potência:
\sqrt{x y}=(x y)^{\tfrac{1}{2}}.
Aplicando \ln em cima:
F(x,y)=\ln\big((x y)^{\tfrac{1}{2}}\big).

Passo 3

Usar a propriedade do logaritmo \ln(a^b)=b\ln a para tirar o expoente:
F(x,y)=\tfrac{1}{2}\ln(x y).

Passo 4

Explicar a propriedade do logaritmo do produto para separar as variáveis. Para x>0 e y>0 vale \ln(x y)=\ln x+\ln y. Assim:
F(x,y)=\tfrac{1}{2}\big(\ln x+\ln y\big)=\tfrac{1}{2}\ln x+\tfrac{1}{2}\ln y.
Esse formato é muito conveniente porque agora x e y aparecem somados em termos separados, facilitando as derivadas parciais.

Passo 5

Lembrar a definição de derivada parcial: ao calcular \dfrac{\partial F}{\partial x} trata-se y como constante e deriva-se em relação a x. A derivada de \ln x em relação a x é \dfrac{1}{x}. Aplicando isso à expressão obtida:
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\tfrac{1}{2}\ln x+\tfrac{1}{2}\ln y\right) =\tfrac{1}{2}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)+\tfrac{1}{2}\cdot\frac{d}{dx}(\ln y).
Como y é tratado como constante, \dfrac{d}{dx}(\ln y)=0. Então
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{2x}.

Passo 6

Analogamente, para \dfrac{\partial F}{\partial y} tratamos x como constante. A derivada de \ln y em relação a y é \dfrac{1}{y}. Assim:
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\tfrac{1}{2}\ln x+\tfrac{1}{2}\ln y\right) =\tfrac{1}{2}\cdot\frac{d}{dy}(\ln x)+\tfrac{1}{2}\cdot\frac{d}{dy}(\ln y).
Aqui \dfrac{d}{dy}(\ln x)=0, logo
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{y}=\frac{1}{2y}.

Passo 7

Resumo e observação sobre domínio: as derivadas parciais obtidas valem para todos os pontos com x>0 e y>0, que é o domínio natural da função original.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{2x}
\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=\frac{1}{2y}

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