Encontre as derivadas parciais com relação a
e com relação a
para cada uma das funções de duas variáveis reais dadas.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede as derivadas parciais com respeito a
e a
. Informações importantes extraídas do enunciado:
- A função depende das variáveis
, e . - Devemos calcular
e . - A função só está definida quando
; então todas as derivadas também valem só para . - Lembrete importante: ao derivar parcialmente em relação a uma variável, as demais são tratadas como constantes.
Passo 2
Mini-aula: o que é derivada parcial?
- A derivada parcial
mede a taxa de variação de quando só varia e ficam fixos. - Formalmente,
mas na prática usamos regras de derivação (produto, quociente) tratando
e
como constantes.
- Regras que vamos usar:
- Regra do produto (quando temos
):
- Regra do quociente (quando temos
):
Ao aplicar essas regras em derivadas parciais, deriva-se apenas a variável de interesse; outras variáveis são constantes. - Regra do produto (quando temos
Passo 3
Cálculo de
.
Observação útil: escrevemos a função isolando um fator que será constante quando derivamos em relação a
. Note que
porque
. Ao derivar em relação a
, o fator
é constante. Então
Agora aplicamos a regra do quociente com
e
. Temos
e
(lembre que
é constante frente a
). Então
Multiplicando pelo fator constante
obtemos
válido para
.
Passo 4
Cálculo de
.
Aqui
e
são tratados como constantes. Uma forma simples é escrever
ou seja,
é uma constante (em relação a
) vezes
. Assim a derivada em relação a
é simplesmente essa constante:
válido para
.
Passo 5
Checagem rápida com números (exemplo prático para fixar):
- Para
temos . - Pelo resultado,
. - E
.
Isso confirma que as fórmulas são fáceis de avaliar numericamente.