Encontre as derivadas parciais com relação a x e com relação a y para cada uma das funções de duas variáveis reais dadas.
F(x, y, z)=\frac{x y z}{x+z}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
F(x,y,z)=\frac{x y z}{x+z}
e pede as derivadas parciais com respeito a x e a y. Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A função depende das variáveis x, y e z.
  • Devemos calcular \dfrac{\partial F}{\partial x} e \dfrac{\partial F}{\partial y}.
  • A função só está definida quando x+z\neq 0; então todas as derivadas também valem só para x+z\neq 0.
  • Lembrete importante: ao derivar parcialmente em relação a uma variável, as demais são tratadas como constantes.

Passo 2

Mini-aula: o que é derivada parcial?
  • A derivada parcial \dfrac{\partial F}{\partial x} mede a taxa de variação de F quando só x varia e y,z ficam fixos.
  • Formalmente,
\dfrac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)=\lim_{h\to 0}\frac{F(x+h,y,z)-F(x,y,z)}{h},
mas na prática usamos regras de derivação (produto, quociente) tratando y e z como constantes.
  • Regras que vamos usar:
    • Regra do produto (quando temos g(x)\cdot h(x)):
    \frac{d}{dx}\big(g\,h\big)=g'\,h+g\,h'.
    • Regra do quociente (quando temos \dfrac{u(x)}{v(x)}):
    \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\,u'-u\,v'}{v^{2}}.Ao aplicar essas regras em derivadas parciais, deriva-se apenas a variável de interesse; outras variáveis são constantes.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial F}{\partial x}.
Observação útil: escrevemos a função isolando um fator que será constante quando derivamos em relação a x. Note que
F(x,y,z)=y z\cdot\frac{x}{x+z},
porque x y z=(y z)\,x. Ao derivar em relação a x, o fator y z é constante. Então
\frac{\partial F}{\partial x}=y z\cdot\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{x+z}\right).
Agora aplicamos a regra do quociente com u(x)=x e v(x)=x+z. Temos u'(x)=1 e v'(x)=1 (lembre que z é constante frente a x). Então
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{x+z}\right)=\frac{(x+z)\cdot 1 - x\cdot 1}{(x+z)^{2}}=\frac{z}{(x+z)^{2}}.
Multiplicando pelo fator constante y z obtemos
\frac{\partial F}{\partial x}=y z\cdot\frac{z}{(x+z)^{2}}=\frac{y z^{2}}{(x+z)^{2}},
válido para x+z\neq 0.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial F}{\partial y}.
Aqui x e z são tratados como constantes. Uma forma simples é escrever
F(x,y,z)=\frac{x z}{x+z}\cdot y,
ou seja, F é uma constante (em relação a y) vezes y. Assim a derivada em relação a y é simplesmente essa constante:
\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{x z}{x+z},
válido para x+z\neq 0.

Passo 5

Checagem rápida com números (exemplo prático para fixar):
  • Para (x,y,z)=(1,2,3) temos x+z=4.
  • Pelo resultado, \dfrac{\partial F}{\partial x}=\dfrac{y z^{2}}{(x+z)^{2}}=\dfrac{2\cdot 3^{2}}{4^{2}}=\dfrac{18}{16}=\dfrac{9}{8}.
  • E \dfrac{\partial F}{\partial y}=\dfrac{x z}{x+z}=\dfrac{1\cdot 3}{4}=\dfrac{3}{4}.
    Isso confirma que as fórmulas são fáceis de avaliar numericamente.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=\frac{y z^{2}}{(x+z)^{2}}
\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}=\frac{x z}{x+z}

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