Encontre a derivada parcial em x das funções:
F(x, y)=x^{2} \operatorname{sen} y

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada parcial em x da função
F(x,y)=x^{2}\operatorname{sen}y,
ou seja, calcular \dfrac{\partial F}{\partial x}(x,y).
Informações dadas e importantes para resolver:
  • A função depende de duas variáveis independentes x e y.
  • A notação \operatorname{sen}y é a mesma coisa que \sin y.
  • Na derivada parcial em x trata-se y como constante (não varia).

Passo 2

Vou lembrar a definição de derivada parcial em x. Para uma função F(x,y),
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{F(x+h,y)-F(x,y)}{h}.
Significado prático: varia-se x em x+h e mantém-se y fixo; assim vemos a taxa de variação de F na direção do eixo x. Essa definição é exatamente a mesma da derivada de uma função de uma variável, só que aqui y é tratado como constante durante o processo.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso F:
F(x+h,y)-F(x,y)=(x+h)^{2}\sin y - x^{2}\sin y.
Como \sin y não depende de x (nem de h), posso fatorar:
F(x+h,y)-F(x,y)=\sin y\big((x+h)^{2}-x^{2}\big).
Agora desenvolvo a diferença de quadrados:
(x+h)^{2}-x^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}=2xh+h^{2}.
Logo
F(x+h,y)-F(x,y)=\sin y\,(2xh+h^{2}).

Passo 4

Divido pela diferença h e calculo o limite:
\frac{F(x+h,y)-F(x,y)}{h}=\sin y\left(2x+h\right).
Agora tomo o limite quando h\to 0:
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\sin y\left(2x+h\right)=\sin y\cdot 2x=2x\sin y.
Observação didática: nessa conta usei que \sin y é constante em relação a h, por isso saiu fora do limite; e \lim_{h\to0}(2x+h)=2x.

Passo 5

Outra forma curta (mais usada em prova, depois que se entende a definição) é aplicar a regra de derivação familiar: se F(x,y)=g(x)\cdot c, onde c é constante em relação a x, então \partial F/\partial x = g'(x)\cdot c. Aqui g(x)=x^{2} e c=\sin y (constante quando derivamos em x), logo
\frac{\partial F}{\partial x}=2x\cdot\sin y.
Exemplo numérico para fixar: em (x,y)=(3,\pi/6) tem-se \sin(\pi/6)=\tfrac{1}{2}, então \partial F/\partial x(3,\pi/6)=2\cdot 3\cdot \tfrac{1}{2}=3. Isso significa que, naquele ponto, aumentando x um pouco enquanto y fica fixo, F aumenta aproximadamente 3 vezes o aumento de x.

Passo 6

Erro comum a evitar: não derive \sin y em relação a x se y for independente de x. Só se y fosse uma função de x (por exemplo y=y(x)) é que se usaria derivada total e cadeia. Aqui, para derivada parcial em x, \sin y é tratada como constante.

Resposta

\dfrac{\partial F}{\partial x}(x,y)=2x\sin y

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