Encontre a derivada parcial em
das funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada parcial em
da função
ou seja, calcular
.
Informações dadas e importantes para resolver:
Informações dadas e importantes para resolver:
- A função depende de duas variáveis independentes
e . - A notação
é a mesma coisa que . - Na derivada parcial em
trata-se como constante (não varia).
Passo 2
Vou lembrar a definição de derivada parcial em
. Para uma função
,
Significado prático: varia-se
em
e mantém-se
fixo; assim vemos a taxa de variação de
na direção do eixo
. Essa definição é exatamente a mesma da derivada de uma função de uma variável, só que aqui
é tratado como constante durante o processo.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso
:
Como
não depende de
(nem de
), posso fatorar:
Agora desenvolvo a diferença de quadrados:
Logo
Passo 4
Divido pela diferença
e calculo o limite:
Agora tomo o limite quando
:
Observação didática: nessa conta usei que
é constante em relação a
, por isso saiu fora do limite; e
.
Passo 5
Outra forma curta (mais usada em prova, depois que se entende a definição) é aplicar a regra de derivação familiar: se
, onde
é constante em relação a
, então
. Aqui
e
(constante quando derivamos em
), logo
Exemplo numérico para fixar: em
tem-se
, então
. Isso significa que, naquele ponto, aumentando
um pouco enquanto
fica fixo,
aumenta aproximadamente
vezes o aumento de
.
Passo 6
Erro comum a evitar: não derive
em relação a
se
for independente de
. Só se
fosse uma função de
(por exemplo
) é que se usaria derivada total e cadeia. Aqui, para derivada parcial em
,
é tratada como constante.