Encontre as derivadas parciais das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para achar as derivadas parciais de
O conteúdo aqui é derivadas parciais de função definida por partes, e vamos precisar usar a regra do quociente quando
e a definição de derivada parcial no ponto
.
Passo 2
Para
, aplicamos a regra do quociente. Se
e
, então
Passo 3
Calculamos primeiro
para
:
$$u_x=3x^2,
\quad v_x=2x.$$
Substituindo,
Passo 4
Agora
para
:
$$u_y=-2y,
\quad v_y=2y.$$
Substituindo,
Passo 5
No ponto
, usamos a definição de derivada parcial:
Passo 6
Para
,
logo
que não existe (diverge).
Resposta
Para (x,y)≠(0,0): ∂h/∂x=(x4+3x2y2+2xy2)/(x2+y2)^2 e ∂h/∂y=−2y x2(1+x)/(x2+y2)2; no ponto (0,0): ∂h/∂x(0,0)=1 e ∂h/∂y(0,0) não existe.