Encontre as derivadas parciais das seguintes funções:
h(x, y)= x^3-y^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para achar as derivadas parciais de
h(x,y)=x^3-y^2x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
O conteúdo aqui é derivadas parciais de função definida por partes, e vamos precisar usar a regra do quociente quando (x,y)neq(0,0) e a definição de derivada parcial no ponto (0,0).

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), aplicamos a regra do quociente. Se u(x,y)=x^3-y^2 e v(x,y)=x^2+y^2, então
partial hpartial x= ux,v - u,vxv^2 e partial hpartial y= uy,v - u,vyv^2

Passo 3

Calculamos primeiro partial h/partial x para (x,y)neq(0,0):
$$u_x=3x^2,
\quad v_x=2x.$$
Substituindo,
ux=3x^2, vx=2x

Passo 4

Agora partial h/partial y para (x,y)neq(0,0):
$$u_y=-2y,
\quad v_y=2y.$$
Substituindo,
uy=-2y, vy=2y

Passo 5

No ponto (0,0), usamos a definição de derivada parcial:
partial hpartial x(0,0)=limhto0h(h,0)-h(0,0)h= limhto0h^3-0h^2+0-0h=limhto0hh=1

Passo 6

Para partial h/partial y(0,0),
h(0,h)=0-h^20+h^2=-1,
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partial hpartial y(0,0)=limhto0-1-0h=limhto0-1h,
que não existe (diverge).

Resposta

Para (x,y)≠(0,0): ∂h/∂x=(x4+3x2y2+2xy2)/(x2+y2)^2 e ∂h/∂y=−2y x2(1+x)/(x2+y2)2; no ponto (0,0): ∂h/∂x(0,0)=1 e ∂h/∂y(0,0) não existe.

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