Encontre as derivadas parciais das seguintes funções
f(x, y)=5 x^4+6 x y^3+log (2 x y)

Passo 1

O enunciado pede para achar as derivadas parciais de f(x,y)=5x{4}+6xy{3}+
log(2xy). Isso cai em Cálculo Multivariável, usando regras de derivação (soma, potência e cadeia).

Passo 2

Para calcular ∂f/∂x, tratamos y como constante. Aplique a derivada termo a termo:
  • d/dx[5x{4}]=20x{3}
  • d/dx[6xy{3}]=6y{3}
  • d/dx[log(2xy)]= (1/(2xy))⋅d/dx[2xy] = (1/(2xy))⋅(2y)=1/x

Passo 3

Para calcular ∂f/∂y, tratamos x como constante. Aplique a derivada termo a termo:
  • d/dy[5x^{4}]=0
  • d/dy[6xy{3}]=6x⋅3y{2}=18xy^{2}
  • d/dy[log(2xy)]= (1/(2xy))⋅d/dy[2xy] = (1/(2xy))⋅(2x)=1/y

Resposta

∂f/∂x = 20x^{3} + 6y^{3} + 1/x ; ∂f/∂y = 18xy^{2} + 1/y

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