Nos exercícios abaixo, verifique se a integral é convergente ou divergente.(Integrais Impróprias do tipo II)
integral0^1 d xraizx

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria do tipo II
integral0^1 dxraizx
é convergente ou divergente. Vamos usar a definição de limite na singularidade em x=0 e calcular a primitiva de x^-1/2.

Passo 2

Identificamos que o integrando diverge em x=0, então reescrevemos a integral como limite:
integral0^1 dxraizx = limvarepsilon to 0^+ integralvarepsilon^1 x^-1/2,dx

Passo 3

Para calcular integral x^-1/2,dx, usamos a regra integral x^p,dx = x^p+1/(p+1) (para pneq -1). Aqui p=-1/2, logo:
integral x^-1/2,dx = x^1/21/2 = 2raizx

Passo 4

Avaliamo-la nos limites e passamos ao limite:
limvarepsilonto 0^+ l[2raizxr]varepsilon^1 = limvarepsilonto 0^+ l(2(1-raizvarepsilon)r) = 2
Como esse limite é finito, a integral converge.

Resposta

A integral converge e seu valor é 2.

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