Nos exercícios abaixo, verifique se a integral é convergente ou divergente.(Integrais Impróprias do tipo II)
integral-8^1 d xx^1 / 3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se a integral imprópria abaixo é convergente ou divergente:
integral-8^1 dxx^1/3
Esse exercício está ligado ao estudo de integrais impróprias do tipo II, que envolvem pontos onde a função pode ter descontinuidades ou comportamentos que complicam o cálculo, como divisão por zero. Para resolver isso, vamos analisar a função e ver se a integral dá pra calcular ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que está dentro da integral:
1x^1/3
Sabemos que x^1/3 é a raiz cúbica de x. Quando x é zero, o denominador fica zero, o que causa uma divisão por zero e, portanto, um ponto problemático na integral. Então, precisamos verificar se x = 0 está dentro do intervalo de integração [-8, 1]. Sim, está! Isso significa que a integral pode ter um comportamento complicado perto de x = 0.

Passo 3

Vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a análise, já que o problema está em x = 0:
integral-8^1 dxx^1/3 = integral-8^0 dxx^1/3 + integral0^1 dxx^1/3
Agora, vamos analisar cada uma dessas integrais separadamente para ver se elas convergem (tem um valor finito) ou divergem (não tem um valor finito).

Passo 4

Começando pela primeira integral:
integral-8^0 dxx^1/3
Aqui, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos deixar u = x^1/3, então x = u^3 e dx = 3u^2 du. Substituindo na integral:
integral-2^0 3u^2 duu = 3 integral-2^0 u du
Integrando:
3 [ u^22 ]-2^0 = 3 ( 0 - (-2)^22 ) = 3 ( -2 ) = -6
Portanto, a primeira parte da integral converge e vale -6.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral:
integral0^1 dxx^1/3
Aqui, o problema é que x^1/3 tende a zero quando x se aproxima de zero, fazendo com que a função 1/x^1/3 tenda ao infinito. Para verificar a convergência, podemos calcular o limite quando x se aproxima de zero:
lima to 0^+ integrala^1 dxx^1/3
Calculando a integral:
integrala^1 x^-1/3 dx = [ 32 x^2/3 ]a^1 = 32 (1 - a^2/3)
Agora, aplicando o limite:
lima to 0^+ 32 (1 - a^2/3) = 32 (1 - 0) = 32
Então, a segunda integral também converge e vale 32.

Resposta

Como ambas as partes da integral convergem, a integral original é convergente e o valor total é:
-6 + 32 = -92

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