Nos exercícios abaixo, verifique se a integral é convergente ou divergente.(Integrais Impróprias do tipo II)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se a integral imprópria abaixo é convergente ou divergente:
Esse exercício está ligado ao estudo de integrais impróprias do tipo II, que envolvem pontos onde a função pode ter descontinuidades ou comportamentos que complicam o cálculo, como divisão por zero. Para resolver isso, vamos analisar a função e ver se a integral dá pra calcular ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que está dentro da integral:
Sabemos que
é a raiz cúbica de
. Quando
é zero, o denominador fica zero, o que causa uma divisão por zero e, portanto, um ponto problemático na integral. Então, precisamos verificar se
está dentro do intervalo de integração
. Sim, está! Isso significa que a integral pode ter um comportamento complicado perto de
.
Passo 3
Vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a análise, já que o problema está em
:
Agora, vamos analisar cada uma dessas integrais separadamente para ver se elas convergem (tem um valor finito) ou divergem (não tem um valor finito).
Passo 4
Começando pela primeira integral:
Aqui, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos deixar
, então
e
. Substituindo na integral:
Integrando:
Portanto, a primeira parte da integral converge e vale
.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda integral:
Aqui, o problema é que
tende a zero quando
se aproxima de zero, fazendo com que a função
tenda ao infinito. Para verificar a convergência, podemos calcular o limite quando
se aproxima de zero:
Calculando a integral:
Agora, aplicando o limite:
Então, a segunda integral também converge e vale
.
Resposta
Como ambas as partes da integral convergem, a integral original é convergente e o valor total é: