Nos exercícios abaixo, verifique se a integral é convergente ou divergente.(Integrais Impróprias do tipo II)
integral0^4 d xraiz4-x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria do tipo II integral0^4 dxraiz4-x é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é comportamento de integrais em pontos de descontinuidade (singularidades) e vamos precisar estudar o que acontece em x=4, onde o denominador se anula.

Passo 2

Identificamos que a única singularidade está em x=4, pois raiz4 - xto0 quando xto4^-. Reescrevemos a integral como limite:
integral0^4 dxraiz4 - x = limb to 4^- integral0^b dxraiz4 - x

Passo 3

Para calcular integral0^b dxraiz4 - x, fazemos a troca de variável u = 4 - x. Então du = -dx e temos:
integral0^b dxraiz4 - x = integralu=4^u=4-b -duraizu = integral4-b^4 u^-1/2,du

Passo 4

Agora encontramos o antiderivado de u^-1/2, que é 2raizu, e avaliamos o limite:
integral4-b^4 u^-1/2,du = l[2raizur]4-b^4 = 2raiz4 - 2raiz4-b = 4 - 2raiz4-b
Tomando bto4^-, faz raiz4-bto0 e o resultado tende a 4. Como o limite é finito, a integral converge.

Passo 5

Concluímos que a integral imprópria é convergente e seu valor é 4.

Resposta

Convergente (valor da integral = 4)

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