Encontre as derivadas parciais das seguintes funções
(d)
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Passo 1
Então, temos um exercício de cálculo que pede para encontrar as derivadas parciais da função $ f(x, y, z) = \sin\left(\ln\left(x y z^{2}\right)\right) $. Vamos usar conceitos de derivadas parciais, regra da cadeia e propriedades dos logaritmos e funções trigonométricas para resolver isso.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
Primeiro, identificamos que $ f(x, y, z) = \sin(u) $, onde $ u = \ln(x y z^{2}) $. Para derivar $ \sin(u) $ em relação a $ x $, usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de $ \sin(u) $ é $ \cos(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x} $.
Agora, calculamos $ \frac{\partial u}{\partial x} $. Sabemos que $ u = \ln(x y z^{2}) $. Usando propriedades dos logaritmos, podemos escrever isso como $ u = \ln(x) + \ln(y) + 2\ln(z) $.
Derivando em relação a $ x $:
Então, substituindo de volta:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Seguindo o mesmo raciocínio, $ f(x, y, z) = \sin(u) $ com $ u = \ln(x y z^{2}) $. Aplicando a regra da cadeia:
Calculando $ \frac{\partial u}{\partial y} $:
Portanto:
Passo 4
Finalmente, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial z} $.
Mais uma vez, usamos a regra da cadeia:
Calculando $ \frac{\partial u}{\partial z} $:
Assim:
Resposta
As derivadas parciais da função $ f(x, y, z) = \sin\left(\ln\left(x y z^{2}\right)\right) $ são: