Prove que:
a-b+a^2-b^2+a^3-b^3+ldots=a-b(1-a)(1-b), com|a|<1 e |b|<1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série infinita sumk=1^infty(a^k - b^k) converge para dfraca-b(1-a)(1-b), sob a condição |a|<1 e |b|<1. Vamos usar propriedades de séries geométricas.

Passo 2

Para começar, separamos a série em duas séries geométricas conhecidas: sumk=1^inftya^k e sumk=1^inftyb^k. Sabemos que, para |a|<1,
sumk=1^inftya^k = a1-a, sumk=1^inftyb^k = b1-b

Passo 3

Subtraindo as duas somas, obtemos
sumk=1^infty(a^k - b^k) = a1-a - b1-b = a(1-b) - b(1-a)(1-a)(1-b)

Passo 4

Agora, basta simplificar o numerador:
a(1-b) - b(1-a) = a - ab - b + ab = a - b

Passo 5

Portanto a soma fica
sumk=1^infty(a^k - b^k) = a - b(1-a)(1-b), que era o que queríamos provar.

Resposta

sumk=1^infty(a^k - b^k)=a-b(1-a)(1-b)

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