Encontre as derivadas parciais, utilizando a regra de cadeia:
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes funções e pede duas derivadas parciais:
-
. -
. -
.
O que se pede:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Regra de cadeia para funções compostas (explicação didática):
Se com
e
, então as derivadas parciais são dadas por
Se
Explicando cada termo:
-
é a derivada parcial de em relação a , tratando como constante. -
é a derivada parcial de em relação a , tratando como constante. - Termos semelhantes valem para as outras parcelas. A soma aparece porque mudanças em
afetam via e via .
Passo 3
Calcular
e
a partir de
.
Derivando em relação a
(tratando
constante):
Derivando em relação a
(tratando
constante):
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
, a partir de
e
.
Para
:
pois ao derivar
por
tratamos
como constante (sai
) e por
tratamos
como constante (sai
).
Para
:
porque
não depende de
.
Passo 5
Agora aplicamos a regra de cadeia para
:
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Substituindo
e
para obter em termos de
:
Podemos fatorar
se desejar:
Passo 6
Agora aplicamos a regra de cadeia para
:
Substituindo:
Substituindo
:
Passo 7
Checagem alternativa (bom para a prova): montar
direto em função de
e derivar.
Substituindo e
em
:
Substituindo
Derivando diretamente:
o que coincide com os resultados anteriores — sinal de que está correto.