Encontre as derivadas parciais, utilizando a regra de cadeia:
\frac{\partial z}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial v}, \mathrm{z}=3 \mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{y}^{2}, \mathrm{x}=\mathrm{u} . \mathrm{v}, \mathrm{y}=\mathrm{u}

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes funções e pede duas derivadas parciais:
  • z=3x^{2}-4y^{2}.
  • x=u\cdot v.
  • y=u.
O que se pede:
  • Calcular \dfrac{\partial z}{\partial u}.
  • Calcular \dfrac{\partial z}{\partial v}.

Passo 2

Regra de cadeia para funções compostas (explicação didática):
Se z=z(x,y) com x=x(u,v) e y=y(u,v), então as derivadas parciais são dadas por
\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u},
\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}.
Explicando cada termo:
  • \dfrac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z em relação a x, tratando y como constante.
  • \dfrac{\partial x}{\partial u} é a derivada parcial de x em relação a u, tratando v como constante.
  • Termos semelhantes valem para as outras parcelas. A soma aparece porque mudanças em u afetam z via x e via y.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} a partir de z=3x^{2}-4y^{2}.
Derivando em relação a x (tratando y constante):
\frac{\partial z}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\big(3x^{2}\big)=6x.
Derivando em relação a y (tratando x constante):
\frac{\partial z}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\big(-4y^{2}\big)=-8y.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a u e v, a partir de x=u v e y=u.
Para x=u v:
\frac{\partial x}{\partial u}=v,\qquad \frac{\partial x}{\partial v}=u,
pois ao derivar u v por u tratamos v como constante (sai v) e por v tratamos u como constante (sai u).
Para y=u:
\frac{\partial y}{\partial u}=1,\qquad \frac{\partial y}{\partial v}=0,
porque y não depende de v.

Passo 5

Agora aplicamos a regra de cadeia para \dfrac{\partial z}{\partial u}:
\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}.
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
\frac{\partial z}{\partial u}=(6x)\cdot v+(-8y)\cdot 1=6xv-8y.
Substituindo x=uv e y=u para obter em termos de u,v:
\frac{\partial z}{\partial u}=6(uv)v-8u=6u v^{2}-8u.
Podemos fatorar u se desejar:
\frac{\partial z}{\partial u}=u\big(6v^{2}-8\big).

Passo 6

Agora aplicamos a regra de cadeia para \dfrac{\partial z}{\partial v}:
\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}.
Substituindo:
\frac{\partial z}{\partial v}=(6x)\cdot u+(-8y)\cdot 0=6xu.
Substituindo x=uv:
\frac{\partial z}{\partial v}=6u(uv)=6u^{2}v.

Passo 7

Checagem alternativa (bom para a prova): montar z direto em função de u,v e derivar.
Substituindo x=uv e y=u em z:
z(u,v)=3(uv)^{2}-4u^{2}=3u^{2}v^{2}-4u^{2}.
Derivando diretamente:
\frac{\partial z}{\partial u}=6u v^{2}-8u, \qquad \frac{\partial z}{\partial v}=6u^{2}v,
o que coincide com os resultados anteriores — sinal de que está correto.

Resposta

\dfrac{\partial z}{\partial u}=6u v^{2}-8u = u\big(6v^{2}-8\big)
\dfrac{\partial z}{\partial v}=6u^{2}v

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