Encontre as derivadas parciais, utilizando a regra de cadeia:
\frac{\partial z}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial v}, \mathrm{z}=4 \mathrm{x}^{3}-3 \mathrm{x}^{2} \mathrm{y}^{2}, \mathrm{x}= ucosv \mathrm{e} \mathrm{y}=\mathrm{vsenu}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial z}{\partial u} e \dfrac{\partial z}{\partial v} usando a regra da cadeia. As informações dadas são:
  • A função z em termos de x e y:
z = 4x^{3} - 3x^{2}y^{2}.
  • As relações que ligam x e y às variáveis u e v:
x = u\cos v,\qquad y = v\sin u.
O que se quer: encontrar \dfrac{\partial z}{\partial u} e \dfrac{\partial z}{\partial v} expressas em termos de u e v (ou, inicialmente, em termos de x,y e depois substituir).

Passo 2

Lembrete/explicação da regra da cadeia para derivadas parciais (forma usada aqui).
Se z=z(x,y) e x=x(u,v),\; y=y(u,v), então as derivadas parciais são dadas por
\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u},
\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}.
Explicando devagar: \dfrac{\partial z}{\partial x} é a taxa de variação de z quando apenas x varia (mantendo y fixo); \dfrac{\partial x}{\partial u} é a taxa de variação de x quando u varia (mantendo v fixo). Multiplicando e somando, obtemos a contribuição total de u na variação de z. O mesmo vale para v.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} a partir de z=4x^{3}-3x^{2}y^{2}. Derivando termo a termo:
  • Derivada de 4x^{3} em relação a x é 12x^{2}.
  • Derivada de -3x^{2}y^{2} em relação a x (tratando y como constante) é -6xy^{2}.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial x}=12x^{2}-6xy^{2}.
Agora \dfrac{\partial z}{\partial y}:
  • O único termo que depende de y é -3x^{2}y^{2}. Derivando em relação a y (com x fixo) dá -6x^{2}y.
Logo
\frac{\partial z}{\partial y}=-6x^{2}y.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x(u,v) e y(u,v):
  • Para x=u\cos v:
\frac{\partial x}{\partial u}=\cos v,\qquad \frac{\partial x}{\partial v}=-u\sin v.
Explicação rápida: derivando u\cos v em relação a u trata-se como constante \cos v; em relação a v trata-se u como constante e usa-se a derivada de \cos v.
  • Para y=v\sin u:
\frac{\partial y}{\partial u}=v\cos u,\qquad \frac{\partial y}{\partial v}=\sin u.
Explicação: derivando v\sin u em relação a u, v é constante e a derivada de \sin u é \cos u; em relação a v trata-se \sin u como constante.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para obter expressões em termos de x e y (antes de substituir x e y por u,v).
Usando
\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u},
substituindo os resultados dos passos anteriores:
\frac{\partial z}{\partial u}=\bigl(12x^{2}-6xy^{2}\bigr)\cos v + \bigl(-6x^{2}y\bigr)\bigl(v\cos u\bigr).
Podemos reescrever mais limpa:
\frac{\partial z}{\partial u}=(12x^{2}-6xy^{2})\cos v -6x^{2}y\,v\cos u.
Para \dfrac{\partial z}{\partial v},
\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v},
logo
\frac{\partial z}{\partial v}=\bigl(12x^{2}-6xy^{2}\bigr)(-u\sin v)+\bigl(-6x^{2}y\bigr)\sin u.
Ou de forma mais direta:
\frac{\partial z}{\partial v}=-u\sin v\,(12x^{2}-6xy^{2}) -6x^{2}y\,\sin u.
Essas duas fórmulas estão corretas e já são úteis: mostram claramente como as derivadas de z em relação a u,v dependem de x,y e das derivadas de x,y.

Passo 6

Agora substituir x=u\cos v e y=v\sin u para obter as expressões finais em termos de u e v. Primeiro calculemos alguns quadrados úteis:
x^{2}=u^{2}\cos^{2}v,\qquad y^{2}=v^{2}\sin^{2}u.
Substituindo em \dfrac{\partial z}{\partial u}:
\frac{\partial z}{\partial u}=(12u^{2}\cos^{2}v-6u v^{2}\cos v\sin^{2}u)\cos v -6(u^{2}\cos^{2}v)(v\sin u)\cos u.
Agora distribuir/fazer produtos simples:
\frac{\partial z}{\partial u}=12u^{2}\cos^{3}v -6u v^{2}\cos^{2}v\sin^{2}u -6u^{2}v\cos^{2}v\sin u\cos u.
(organizei termos para ficar explícito em u,v e usando funções trigonométricas \sin,\cos).
Agora \dfrac{\partial z}{\partial v}, substituindo:
\frac{\partial z}{\partial v}=-u\sin v\bigl(12u^{2}\cos^{2}v-6u v^{2}\cos v\sin^{2}u\bigr) -6(u^{2}\cos^{2}v)(v\sin u).
Fazendo as multiplicações:
\frac{\partial z}{\partial v}=-12u^{3}\sin v\cos^{2}v +6u^{2}v^{2}\sin v\cos v\sin^{2}u -6u^{2}v\cos^{2}v\sin^{2}u.
Se quiser, pode-se fatorar um 6u^{2}\cos^{2}v em algumas partes para simplificar visualmente, mas as expressões acima já estão corretas e explícitas em termos de u e v.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial u}=(12x^{2}-6xy^{2})\cos v -6x^{2}y\,v\cos u
\frac{\partial z}{\partial v}=-u\sin v\,(12x^{2}-6xy^{2}) -6x^{2}y\,\sin u
ou, substituindo x=u\cos v e y=v\sin u,
\frac{\partial z}{\partial u}=12u^{2}\cos^{3}v -6u v^{2}\cos^{2}v\sin^{2}u -6u^{2}v\cos^{2}v\sin u\cos u
\frac{\partial z}{\partial v}=-12u^{3}\sin v\cos^{2}v +6u^{2}v^{2}\sin v\cos v\sin^{2}u -6u^{2}v\cos^{2}v\sin^{2}u

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