Encontre as derivadas parciais, utilizando a regra de cadeia:
ucosv
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais
e
usando a regra da cadeia. As informações dadas são:
- A função
em termos de e :
- As relações que ligam
e às variáveis e :
O que se quer: encontrar
e
expressas em termos de
e
(ou, inicialmente, em termos de
e depois substituir).
Passo 2
Lembrete/explicação da regra da cadeia para derivadas parciais (forma usada aqui).
Se
e
, então as derivadas parciais são dadas por
Explicando devagar:
é a taxa de variação de
quando apenas
varia (mantendo
fixo);
é a taxa de variação de
quando
varia (mantendo
fixo). Multiplicando e somando, obtemos a contribuição total de
na variação de
. O mesmo vale para
.
Passo 3
Calcular
e
a partir de
. Derivando termo a termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a (tratando como constante) é .
Portanto
Agora
:
- O único termo que depende de
é . Derivando em relação a (com fixo) dá .
Logo
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
e
:
- Para
:
Explicação rápida: derivando
em relação a
trata-se como constante
; em relação a
trata-se
como constante e usa-se a derivada de
.
- Para
:
Explicação: derivando
em relação a
,
é constante e a derivada de
é
; em relação a
trata-se
como constante.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para obter expressões em termos de
e
(antes de substituir
e
por
).
Usando
substituindo os resultados dos passos anteriores:
Podemos reescrever mais limpa:
Para
,
logo
Ou de forma mais direta:
Essas duas fórmulas estão corretas e já são úteis: mostram claramente como as derivadas de
em relação a
dependem de
e das derivadas de
.
Passo 6
Agora substituir
e
para obter as expressões finais em termos de
e
. Primeiro calculemos alguns quadrados úteis:
Substituindo em
:
Agora distribuir/fazer produtos simples:
(organizei termos para ficar explícito em
e usando funções trigonométricas
).
Agora
, substituindo:
Fazendo as multiplicações:
Se quiser, pode-se fatorar um
em algumas partes para simplificar visualmente, mas as expressões acima já estão corretas e explícitas em termos de
e
.
Resposta
ou, substituindo
e
,