Encontre as derivadas primeira e segunda da função dada.
(d) f(x)=x ln x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primeira e a segunda derivadas da função f(x)=xln x. O conteúdo principal aqui é derivação usando a regra do produto e a derivada de ln x.

Passo 2

Para achar f'(x), aplicamos a regra do produto: se f(x)=u(x)v(x), então f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Aqui u(x)=x e v(x)=ln x. Então
f'(x)=ddx[x]cdotln x + xcdotddx[ln x]=1cdotln x + xcdot1x=ln x + 1

Passo 3

Para achar f''(x), derivamos f'(x)=ln x + 1. A derivada de ln x é 1/x e de uma constante é zero. Então
f''(x)=ddx[ln x]+ddx[1]=1x+0=1x

Resposta

Primeira derivada: f'(x)=ln x+1; Segunda derivada: f''(x)=1x.

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