Encontre as derivadas primeira e segunda da função dada.
© h(x)=e^x cos x

Passo 1

A questão pede para encontrar as derivadas primeira e segunda da função h(x)=e^xcos x. Aqui o conteúdo é derivadas de produto e regras de derivação das funções exponencial e trigonométrica. Vamos usar a regra do produto, a derivada de e^x e as derivadas de cos x e sin x.

Passo 2

A derivada de um produto u(x)v(x) é dada por u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Aplicando em h(x)=e^xcos x, temos
h'(x)&=(e^x)'cos x+e^x(cos x)' &=e^xcos x+e^x(-sin x) &=e^xcos x-e^xsin x &=e^xl(cos x-sin xr)

Passo 3

Para obter a segunda derivada, aplicamos novamente a regra do produto em h'(x)=e^x(cos x-sin x). Temos
h''(x)&=(e^x)'(cos x-sin x)+e^xl(cos x-sin xr)' &=e^x(cos x-sin x)+e^xl(-sin x-cos xr) &=e^xl[(cos x-sin x)+(-sin x-cos x)r] &=e^x(-2sin x) &=-2e^xsin x

Resposta

As derivadas são h'(x)=e^x(cos x-sin x) e h''(x)=-2e^xsin x.

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