Encontre as derivadas primeira e segunda da função dada.
(h) g(x)=e^xx

Passo 1

A questão pede para encontrar as derivadas primeira e segunda da função g(x)=e^xx. O conteúdo é derivação de produto e regras de potência, e vamos precisar da regra do produto e de derivar potências negativas.

Passo 2

Reescrevemos g(x) como um produto para facilitar:
g(x)=e^xcdot x^-1

Passo 3

Aplicando a regra do produto em g(x)=e^xcdot x^-1:
g'(x) = (e^x)'cdot x^-1 + e^xcdot(x^-1)' = e^xcdot x^-1 + e^xcdot(-1)x^-2

Passo 4

Somando os termos, obtemos:
g'(x) = e^xx - e^xx^2

Passo 5

Fatorando e^x e combinando frações:
g'(x) = e^xl(1x-1x^2r) = e^xx-1x^2

Passo 6

Para a segunda derivada, vamos derivar g'(x)=e^xx-1x^2 usando regra do produto de novo, com u=e^x e v=(x-1)x^-2. Primeiro,
u'=e^x

Passo 7

Reescrevendo v como soma de potências:
v(x)=x-1x^2=x^-1-x^-2, v'(x)=-x^-2+2x^-3= -1x^2+2x^3

Passo 8

Aplicando a regra do produto em g'(x)=ucdot v:
g''(x)=u'cdot v + ucdot v' = e^xl(x-1x^2r) + e^xl(-1x^2+2x^3r)

Passo 9

Somando e fatorando e^x:
g''(x)=e^xl(x-1x^2-1x^2+2x^3r)=e^xl(x-2x^2+2x^3r)

Passo 10

Combinando as frações no parêntese:
x-2x^2+2x^3=(x-2)x+2x^3=x^2-2x+2x^3,

Passo 11

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g''(x)=e^xx^2-2x+2x^3

Resposta

Primeira derivada: g'(x)=e^xx-1x^2. Segunda derivada: g''(x)=e^xx^2-2x+2x^3.

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