Resolver a seguinte integral
.
Passo 1
Estamos calculando a integral imprópria
$$
\int_{0}^{+\infty} e^{-2t} \sin(3t)\, dt
$$
\int_{0}^{+\infty} e^{-2t} \sin(3t)\, dt
$$
É um problema de integração de uma exponencial decrescente multiplicada por uma função trigonométrica. Para resolver, vamos usar o método de integração por partes duas vezes e montar um sistema para encontrar o valor de $I$.
Passo 2
Chamamos
$$
I = \int_{0}^{+\infty} e^{-2t} \sin(3t)\, dt
$$
I = \int_{0}^{+\infty} e^{-2t} \sin(3t)\, dt
$$
Na primeira integração por partes tomamos $u = \sin(3t)$ e $dv = e^{-2t} dt$. Assim $du = 3\cos(3t)\,dt$ e $v = -\tfrac12 e^{-2t}$. Isso leva a:
$$
I = \bigl[-\tfrac12 e^{-2t} \sin(3t)\bigr]0^{\infty} + \tfrac32 \int{0}^{+\infty} e^{-2t} \cos(3t)\,dt.
$$
I = \bigl[-\tfrac12 e^{-2t} \sin(3t)\bigr]0^{\infty} + \tfrac32 \int{0}^{+\infty} e^{-2t} \cos(3t)\,dt.
$$
O termo de fronteira vale zero, logo
$$
I = \tfrac32 J,
$$
I = \tfrac32 J,
$$
once definimos $J = \int_{0}^{+\infty} e^{-2t} \cos(3t)\,dt$.
Passo 3
Para achar $J$, aplicamos integração por partes de novo com $u = \cos(3t)$ e $dv = e^{-2t} dt$. Temos $du = -3\sin(3t)\,dt$ e $v = -\tfrac12 e^{-2t}$. Então:
$$
J = \bigl[-\tfrac12 e^{-2t} \cos(3t)\bigr]0^{\infty} - \int{0}^{+\infty} \bigl(-\tfrac12 e^{-2t}\bigr)(-3\sin(3t))\,dt.
$$
J = \bigl[-\tfrac12 e^{-2t} \cos(3t)\bigr]0^{\infty} - \int{0}^{+\infty} \bigl(-\tfrac12 e^{-2t}\bigr)(-3\sin(3t))\,dt.
$$
O termo de fronteira é $1/2$ e o restante dá $-\tfrac32 I$, resultando em
$$
J = \tfrac12 - \tfrac32 I.
$$
J = \tfrac12 - \tfrac32 I.
$$
Passo 4
Agora substituímos $J$ na relação $I = \tfrac32 J$:
$$
I = \tfrac32\bigl(\tfrac12 - \tfrac32 I\bigr) = \tfrac34 - \tfrac{9}{4} I.
$$
I = \tfrac32\bigl(\tfrac12 - \tfrac32 I\bigr) = \tfrac34 - \tfrac{9}{4} I.
$$
Somando $\tfrac{9}{4} I$ aos dois lados, temos
$$
\tfrac{13}{4} I = \tfrac34
$$
\tfrac{13}{4} I = \tfrac34
$$
e portanto
$$
I = \tfrac{3}{13}.
$$
I = \tfrac{3}{13}.
$$
Resposta
$\frac{3}{13}$