Encontre as derivadas primeiras e segundas:
x \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede para achar a primeira e a segunda derivada da função
f(x)=x\operatorname{sen} x.
O conteúdo principal aqui é a regra do produto e as derivadas básicas de \operatorname{sen} x e \cos x.

Passo 2

Para encontrar f'(x) usamos a regra do produto: se f(x)=u(x)\,v(x), então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui escolhemos u(x)=x e v(x)=\operatorname{sen} x. Como u'(x)=1 e v'(x)=\cos x, temos
f'(x)=1\cdot\operatorname{sen} x + x\cdot\cos x.

Passo 3

Portanto a primeira derivada é
f'(x)=\operatorname{sen} x + x\cos x.

Passo 4

Para achar f''(x), derivamos f'(x). Note que
f'(x)=\operatorname{sen} x + x\cos x
é soma de duas funções. Aplicando a regra da soma e, na segunda parcela, novamente a regra do produto (com u(x)=x, v(x)=\cos x), obtemos
\frac{d}{dx}[\operatorname{sen} x]=\cos x, \qquad \frac{d}{dx}[x\cos x]=1\cdot\cos x + x\cdot(-\operatorname{sen} x)=\cos x - x\operatorname{sen} x.

Passo 5

Somando as derivadas das parcelas, chega-se a
f''(x)=\cos x + (\cos x - x\operatorname{sen} x)=2\cos x - x\operatorname{sen} x.

Resposta

f'(x)=\operatorname{sen} x + x\cos x,
f''(x)=2\cos x - x\operatorname{sen} x.

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