Encontre \frac{d y}{d x} diferenciando implicitamente:
x^{2}-2 x y+y^{3}=10

Passo 1

O enunciado apresenta a relação implícita
x^{2}-2xy+y^{3}=10
e pede \frac{dy}{dx}. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados em relação a x, aplicando regra do produto e regra da cadeia sempre que necessário.

Passo 2

Derivando termo a termo em relação a x:
A derivada de x^{2} é 2x. A derivada de -2\,x\,y pela regra do produto é
\frac{d}{dx}(-2x\cdot y) = -2\,y \;+\;(-2x)\,y'.
A derivada de y^{3} pela regra da cadeia é
3y^{2}\,y'.
A derivada de 10 é zero. Logo, somando tudo, obtemos
2x \;-\;2y \;-\;2x\,y' \;+\;3y^{2}\,y' \;=\;0.

Passo 3

Agora, agrupamos os termos que contêm y' de um lado e os demais do outro:
-2x\,y' + 3y^{2}\,y' + 2x - 2y = 0
y'(-2x + 3y^{2}) + 2x - 2y = 0.

Passo 4

Isolando y':
y'(-2x + 3y^{2}) = 2y - 2x
y' = \frac{2y - 2x}{-2x + 3y^{2}} = \frac{2(y - x)}{3y^{2} - 2x}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{2\,(y - x)}{3\,y^{2} - 2\,x}.

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