Encontre as derivadas primeiras e segundas:
\cos 2 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas de primeira e segunda ordem da função
f(x)=\cos(2x).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia em derivação: sabemos que
  • a derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u),
  • e se u=u(x), então \frac{d}{dx}\cos(u(x))=-\sin(u(x))\cdot u'(x).

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia para obter f'(x):
tomamos u(x)=2x, cuja derivada é u'(x)=2. Logo,
f'(x)=\frac{d}{dx}\cos(2x)=-\sin(2x)\cdot 2=-2\sin(2x).

Passo 3

Para f''(x), derivamos f'(x)=-2\sin(2x). Ainda pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\sin(2x)=\cos(2x)\cdot 2,
então
f''(x)=-2\cdot\bigl(\cos(2x)\cdot 2\bigr)=-4\cos(2x).

Resposta

f'(x)=-2\sin(2x) f''(x)=-4\cos(2x)

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