Encontre as derivadas da seguinte função:
y=log 2(1+cotg^-1 x);

Passo 1

A questão pede a derivada de y=log2l(1+cotg^-1xr). O conteúdo principal é derivada de logaritmo de base diferenciável e derivada de função inversa da cotangente.

Passo 2

Primeiro usamos a mudança de base do logaritmo: log2U=dfracln Uln2. Aqui U=1+cotg^-1x, então
y=lnl(1+cotg^-1xr)ln2

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para derivar y. A derivada de ln V é V'/V. Então
y' = 1ln2cdotddxl[lnl(1+cotg^-1xr)r]=1ln2cdot11+cotg^-1xcdotddxl(cotg^-1xr)

Passo 4

Falta a derivada de cotg^-1x, que é conhecida: dfracddxl(cotg^-1xr)=-dfrac11+x^2. Substituindo, obtemos
$$y

Resposta

-dfrac1ln2,l(1+cotg^-1xr),(1+x^2)

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