Utilize o método das cascas cilíndricas para encontrar a fórmula para o volume do sólido seguinte: A região limitada pelas curvas e girada em torno da reta .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação da região entre as curvas e em torno da reta . Isso envolve um pouco de cálculo integral, mas vou te explicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região. Temos , que é uma parábola que abre para cima, e , que é uma reta horizontal. Vamos encontrar onde essas duas curvas se encontram para saber os limites de integração.
Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo, temos . Então, a região que vamos girar está entre e .
Passo 3
Agora, vamos lembrar como funciona o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando a rotação é em torno de uma linha paralela ao eixo das coordenadas. A ideia é imaginar a região como uma série de cascas cilíndricas fininhas e somar o volume de todas elas.
A fórmula geral para o volume usando esse método é:
Onde:
raio é a distância do elemento até a reta de rotação.
altura é a altura da casca, que depende das funções que delimitam a região.
Passo 4
Vamos identificar o raio e a altura para o nosso caso específico.
Raio: A reta de rotação é . A distância de um ponto qualquer na região até essa reta é . Como na parte inferior e na parte superior, o raio será:
Altura: A altura da casca é a diferença entre a parte superior e inferior da região em , que é .