Utilize o método das cascas cilíndricas para encontrar a fórmula para o volume do sólido seguinte: A região limitada pelas curvas y=x^2 e y=1 girada em torno da reta y=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação da região entre as curvas e em torno da reta . Isso envolve um pouco de cálculo integral, mas vou te explicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região. Temos x^2 = 1 , que é uma parábola que abre para cima, e , que é uma reta horizontal. Vamos encontrar onde essas duas curvas se encontram para saber os limites de integração.
Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo, temos . Então, a região que vamos girar está entre e .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando a rotação é em torno de uma linha paralela ao eixo das coordenadas. A ideia é imaginar a região como uma série de cascas cilíndricas fininhas e somar o volume de todas elas.
A fórmula geral para o volume usando esse método é:
V = 2pi integrala^b (raio) cdot (a
Onde:
  • raio é a distância do elemento até a reta de rotação.
  • altura é a altura da casca, que depende das funções que delimitam a região.

Passo 4

Vamos identificar o raio e a altura para o nosso caso específico.
  • Raio: A reta de rotação é raio = 3 - y = 3 - x^2 . A distância de um ponto qualquer na região até essa reta é . Como na parte inferior e na parte superior, o raio será:
  • Altura: A altura da casca é a diferença entre a parte superior e inferior da região em , que é .

Passo 5

Agora, substituímos V = 2pi integral-1^1 (3 - x^2) cdot (1 - x^2) , dx e V = 2pi integral-1^1 (3 cdot 1 - 3x^2 - x^2 cdot 1 + x^4) , dx na fórmula do volume:
V = 2pi integral-1^1 (3 - 4x^2 + x^4) , dx
Simplificando dentro da integral:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
V = 2pi [ integral-1^1 3 , dx - integral-1^1 4x^2 , dx + integral-1^1 x^4 , dx ]
Calculemos cada parte separadamente:
  1. V = 2pi (6 - 83 + 25)
Substituindo de volta:

Passo 7

Vamos calcular a expressão dentro dos parênteses:
6 - 83 + 25 = 9015 - 4015 + 615 = 5615
Então:
V = 2pi cdot 5615 = 112pi15

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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