Encontre as derivadas das seguintes funções, dadas por integrais definidas, usando o teorema 17.3.
g(x)=\int_{\pi / 2}^{x} \frac{\operatorname{sen} t}{t} d t(x>0). Resposta. \frac{\operatorname{sen} x}{x}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=\int_{\pi/2}^{x}\frac{\operatorname{sen}t}{t}\,dt\quad(x>0)
usando o Teorema 17.3 (o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2). Vamos ver como aplicar essa ferramenta para funções definidas por integral.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2, diz que se
G(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt
e f é contínua, então
G'(x)=f(x).
Ou seja, ao derivar uma integral cujos limites são constantes em baixo e a variável em cima, basta avaliar o integrando na variável de integração.

Passo 3

No nosso caso, a função integrando é
f(t)=\frac{\operatorname{sen}t}{t},
com a=\pi/2 e o limite superior igual a x. Note que \frac{\operatorname{sen}t}{t} é contínua em (0,\infty), então podemos aplicar o teorema.

Passo 4

Pelo teorema, a derivada de
g(x)=\int_{\pi/2}^{x}\frac{\operatorname{sen}t}{t}\,dt
é simplesmente o integrando avaliado em t=x. Logo,
g'(x)=\frac{\operatorname{sen}x}{x}.

Resposta

g'(x)=\frac{\operatorname{sen}x}{x}.

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