Encontre as derivadas das seguintes funções, dadas por integrais definidas, usando o teorema 17.3.
f(x)=\int_{x}^{3} \cos (\ln t) d t(x>0). Resposta. -\cos (\ln x). Sugestão. \int_{x}^{3}=-\int_{3}^{x}.

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\int_{x}^{3}\cos(\ln t)\,dt,\quad x>0,
e pede f'(x). O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) junto com a regra da cadeia para limites de integração variáveis.

Passo 2

Usamos a sugestão para trocar os limites da integral:
\int_{x}^{3}\cos(\ln t)\,dt = -\int_{3}^{x}\cos(\ln t)\,dt.
Assim podemos definir
g(x)=\int_{3}^{x}\cos(\ln t)\,dt
e logo
f(x)=-\,g(x).

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de g(x) é
g'(x)=\cos(\ln x)\cdot\frac{d}{dx}(x)=\cos(\ln x).
Como f(x)=-g(x), então
f'(x)=-g'(x)=-\cos(\ln x).

Resposta

f'(x)=-\cos(\ln x).

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