\text { Calcule } \int \frac{x+1}{4+x^{2}} d x Passo 1O enunciado pede para calcular \int \frac{x+1}{4+x^{2}}\,dx. O conteúdo principal aqui é decompor a fração em duas partes, uma que gera um logaritmo via substituição e outra que gera uma função arco-tangente pela fórmula \int\frac{dx}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\frac{x}{a}\bigr)+C. Passo 2Separamos a integral em duas parcelas: \int \frac{x+1}{4+x^{2}}\,dx =\int \frac{x}{4+x^{2}}\,dx +\int \frac{1}{4+x^{2}}\,dx. Passo 3Para \int \frac{x}{4+x^{2}}\,dx fazemos a substituição u = 4 + x^{2}, \quad du = 2x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = \frac{1}{2}\,du. Então \int \frac{x}{4+x^{2}}\,dx =\int \frac{1}{u}\,\frac{du}{2} =\frac{1}{2}\int \frac{du}{u} =\frac{1}{2}\ln\bigl|u\bigr|+C_{1} =\frac{1}{2}\ln\bigl(4+x^{2}\bigr)+C_{1}. Passo 4Para \int \frac{1}{4+x^{2}}\,dx reconhecemos a forma \displaystyle \int\frac{dx}{a^{2}+x^{2}}. Aqui a^{2}=4, logo a=2, e \int \frac{1}{4+x^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+C_{2}. Passo 5Somando as duas partes e reunindo as constantes numa única C, temos \int \frac{x+1}{4+x^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\ln\bigl(4+x^{2}\bigr) +\frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+C. Resposta \boxed{\frac{1}{2}\ln\bigl(4+x^{2}\bigr) +\frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+C.} MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEncontre as derivadas das seguintes funções, dadas por integrais definidas, usando o teorema 17.3. g(x)=\int_{x^{2}}^{x^{3}} \frac{1}{\ln t} d t(x>0). Resposta. \frac{x^{2}-x}{\ln x}. Sugestão. Tome um número real a, a>0, e use a estratégia sugerida no problema anterior. Encontre as derivadas das seguintes funções, dadas por integrais definidas, usando o teorema 17.3. g(x)=\int_{x^{2}}^{x^{3}} \frac{1}{\ln t} d t(x>0). Resposta. \frac{x^{2}-x}{\ln x}. Sugestão. Tome um número real a, a>0, e use a estratégia sugerida no problema anterior. Teste as seguintes séries alternadas quanto a convergência ou divergência Determine se converge ou diverge: \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} e^{2 / n} Teste as seguintes séries alternadas quanto a convergência ou divergência Determine se converge ou diverge: \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \operatorname{tg}^{-1} n