\text { Calcule } \int \frac{x+1}{4+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x+1}{4+x^{2}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é decompor a fração em duas partes, uma que gera um logaritmo via substituição e outra que gera uma função arco-tangente pela fórmula
\int\frac{dx}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\frac{x}{a}\bigr)+C.

Passo 2

Separamos a integral em duas parcelas:
\int \frac{x+1}{4+x^{2}}\,dx =\int \frac{x}{4+x^{2}}\,dx +\int \frac{1}{4+x^{2}}\,dx.

Passo 3

Para
\int \frac{x}{4+x^{2}}\,dx
fazemos a substituição
u = 4 + x^{2}, \quad du = 2x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Então
\int \frac{x}{4+x^{2}}\,dx =\int \frac{1}{u}\,\frac{du}{2} =\frac{1}{2}\int \frac{du}{u} =\frac{1}{2}\ln\bigl|u\bigr|+C_{1} =\frac{1}{2}\ln\bigl(4+x^{2}\bigr)+C_{1}.

Passo 4

Para
\int \frac{1}{4+x^{2}}\,dx
reconhecemos a forma \displaystyle \int\frac{dx}{a^{2}+x^{2}}. Aqui a^{2}=4, logo a=2, e
\int \frac{1}{4+x^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+C_{2}.

Passo 5

Somando as duas partes e reunindo as constantes numa única C, temos
\int \frac{x+1}{4+x^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\ln\bigl(4+x^{2}\bigr) +\frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+C.

Resposta

\boxed{\frac{1}{2}\ln\bigl(4+x^{2}\bigr) +\frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+C.}

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