Encontre as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada da função
Informações dadas (lista clara):
- A função é soma de três termos:
, (produto de por ) e (produto de por ). - A tarefa é calcular
, a derivada de em função de .
Nada mais será assumido; eu vou derivar cada termo passo a passo.
Passo 2
Regra importante para potências com base positiva fixa: para qualquer real
a função
pode ser reescrita como
onde
é o logaritmo natural de
. Diferenciando
usando a regra da cadeia obtemos
Explicação das partes:
é um número (constante) quando
é fixo, e a regra da cadeia diz que a derivada de
é
. Aqui
e
.
Passo 3
Regra do produto (vai servir para os dois últimos termos): se
e
são funções diferenciáveis, então
Intuição curta: a variação do produto é a soma da variação de um fator mantendo o outro (e vice‑versa). Vou aplicar isso com
,
no segundo termo e com
,
no terceiro termo. Também preciso das derivações elementares:
Passo 4
Derivada do primeiro termo
: usando a fórmula da Passo 2 com
,
Aqui
é uma constante (aproximadamente
), não precisa de valor numérico agora — mantenha simbólico.
Passo 5
Derivada do segundo termo
: apliquei a regra do produto com
e
.
Calcule usando Passo 2:
.
Calcule .
Agora aplique a regra do produto:
Calcule
Calcule
Agora aplique a regra do produto:
Fatorando
para simplificar:
Passo 6
Derivada do terceiro termo
: apliquei a regra do produto com
e
.
Calcule (Passo 2) e
.
Aplicando a regra do produto:
Calcule
Aplicando a regra do produto:
Fatorando
:
Passo 7
Juntando as derivadas dos três termos (a derivada de uma soma é a soma das derivadas), obtemos
Essa é a forma final simplificada. Se quiser, pode reescrever troca de ordem dentro dos parênteses, mas está pronta para usar na prova.