Encontre as derivadas das seguintes funções:
f(x)=\pi^{x}+3^{x} x+4^{x} \cos (x)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada da função
f(x)=\pi^{x}+3^{x} x+4^{x}\cos(x).
Informações dadas (lista clara):
  • A função é soma de três termos: \pi^{x}, 3^{x}x (produto de 3^{x} por x) e 4^{x}\cos(x) (produto de 4^{x} por \cos x).
  • A tarefa é calcular f'(x), a derivada de f em função de x.
    Nada mais será assumido; eu vou derivar cada termo passo a passo.

Passo 2

Regra importante para potências com base positiva fixa: para qualquer real a>0 a função x\mapsto a^{x} pode ser reescrita como
a^{x}=e^{x\ln a},
onde \ln a é o logaritmo natural de a. Diferenciando e^{x\ln a} usando a regra da cadeia obtemos
\frac{d}{dx}a^{x}=\frac{d}{dx}e^{x\ln a}=e^{x\ln a}\cdot \ln a=a^{x}\ln a.
Explicação das partes: \ln a é um número (constante) quando a é fixo, e a regra da cadeia diz que a derivada de e^{g(x)} é e^{g(x)}g'(x). Aqui g(x)=x\ln a e g'(x)=\ln a.

Passo 3

Regra do produto (vai servir para os dois últimos termos): se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Intuição curta: a variação do produto é a soma da variação de um fator mantendo o outro (e vice‑versa). Vou aplicar isso com u=3^{x}, v=x no segundo termo e com u=4^{x}, v=\cos x no terceiro termo. Também preciso das derivações elementares:
\frac{d}{dx}x=1,\qquad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.

Passo 4

Derivada do primeiro termo \pi^{x}: usando a fórmula da Passo 2 com a=\pi,
\frac{d}{dx}\pi^{x}=\pi^{x}\ln\pi.
Aqui \ln\pi é uma constante (aproximadamente 1,1447), não precisa de valor numérico agora — mantenha simbólico.

Passo 5

Derivada do segundo termo 3^{x}x: apliquei a regra do produto com u(x)=3^{x} e v(x)=x.
Calcule u'(x) usando Passo 2: \displaystyle u'(x)=3^{x}\ln 3.
Calcule v'(x)=1.
Agora aplique a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(3^{x}x\big)=3^{x}\ln 3\cdot x + 3^{x}\cdot 1.
Fatorando 3^{x} para simplificar:
\frac{d}{dx}\big(3^{x}x\big)=3^{x}\big(x\ln 3 + 1\big).

Passo 6

Derivada do terceiro termo 4^{x}\cos x: apliquei a regra do produto com u(x)=4^{x} e v(x)=\cos x.
Calcule u'(x)=4^{x}\ln 4 (Passo 2) e v'(x)=-\sin x.
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(4^{x}\cos x\big)=4^{x}\ln 4\cdot \cos x + 4^{x}\cdot(-\sin x).
Fatorando 4^{x}:
\frac{d}{dx}\big(4^{x}\cos x\big)=4^{x}\big(\cos x\ln 4 - \sin x\big).

Passo 7

Juntando as derivadas dos três termos (a derivada de uma soma é a soma das derivadas), obtemos
f'(x)=\pi^{x}\ln\pi \;+\; 3^{x}\big(x\ln 3 + 1\big) \;+\; 4^{x}\big(\cos x\ln 4 - \sin x\big).
Essa é a forma final simplificada. Se quiser, pode reescrever troca de ordem dentro dos parênteses, mas está pronta para usar na prova.

Resposta

f'(x)=\pi^{x}\ln\pi+3^{x}\big(x\ln 3+1\big)+4^{x}\big(\cos x\ln 4-\sin x\big)

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