Usando a regra da cadeia, mostrar que \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(a^{x}\bigr)=\ln(a)\,a^{x}.
Informações relevantes que o enunciado dá (e que vamos usar): a é uma constante positiva (ou seja, a>0) e x é uma variável real. Não há outras restrições. A primeira parte pede uma identidade entre duas formas de escrever uma potência com base a; a segunda pede a derivada dessa potência em relação a x.
Passo 2
Vamos lembrar / aprender o que são e^x e \ln x e uma propriedade básica dos logaritmos.
A função exponencial natural é \displaystyle x\mapsto e^{x}. É uma função bem conhecida, contínua e derivável, e tem a propriedade importante
e^{\ln y}=y\quad\text{para todo }y>0,
pois \ln é a função inversa de e^{x}.
A função \ln x (logaritmo natural) é definida para x>0 e satisfaz a propriedade
\ln\bigl(y^t\bigr)=t\ln y
quando t é um número racional (isso vem das propriedades elementares de potências e logaritmos). Essa propriedade será usada para começar a provar a identidade pedida.
Aqui: \ln a é um número fixo (constante) quando a>0.
Passo 3
Mostramos a identidade primeiro para expoentes inteiros positivos n. Partimos de e^{\ln a}=a. Elevando ambos os lados à potência n (produto repetido), obtemos
\bigl(e^{\ln a}\bigr)^{n}=a^{n}.
Pelo fato de propriedades de exponenciais, o lado esquerdo é
\bigl(e^{\ln a}\bigr)^{n}=e^{n\ln a}.
Logo, para todo inteiro n\ge 1,
a^{n}=e^{n\ln a}.
Isso já mostra a identidade para expoentes inteiros positivos.
Passo 4
Agora estendemos para expoentes inteiros negativos e zero. Para n=0 a igualdade é trivial: a^{0}=1=e^{0\cdot\ln a}. Para inteiro negativo -n (com n>0),
Portanto a igualdade a^{m}=e^{m\ln a} vale para todo m\in\mathbb{Z}.
Passo 5
Agora tratamos expoentes racionais. Seja r=\dfrac{p}{q} com p\in\mathbb{Z} e q\in\mathbb{N}. Definimos a^{1/q} como a raiz q-ésima positiva de a (isso existe pois a>0). Seja y=a^{1/q}; então y^{q}=a. Tirando logaritmo natural em ambos os lados,
q\ln y=\ln a \quad\Rightarrow\quad \ln y=\frac{\ln a}{q}.
Exponenciando,
y=e^{\ln y}=e^{\ln a / q}.
Então
a^{1/q}=e^{\ln a / q}.
Elevando ambos os lados à potência p,
a^{p/q}=\bigl(a^{1/q}\bigr)^{p}= \bigl(e^{\ln a / q}\bigr)^{p}=e^{p\ln a / q}.
Assim a igualdade vale para todo r\in\mathbb{Q}:
a^{r}=e^{r\ln a}.
Passo 6
Para passar dos racionais para todos os reais usamos continuidade. Argumento intuitivo e padrão: as funções x\mapsto a^{x} (definida primeiro para racionais e então estendida por continuidade) e x\mapsto e^{x\ln a} são contínuas em \mathbb{R}. Como elas coincidem em todos os racionais (conjunto denso em \mathbb{R}), por continuidade elas coincidem em todos os reais. Portanto, para todo x\in\mathbb{R}
a^{x}=e^{x\ln a},
que é exatamente o que o enunciado pede na parte (1).
Passo 7
Agora vamos derivar \displaystyle a^{x} usando a regra da cadeia. Primeiro recorde da regra da cadeia de forma verbal: se temos uma função composta F(x)=f\bigl(g(x)\bigr), e f é derivável em g(x) e g é derivável em x, então
F'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
No nosso caso vamos usar a expressão obtida na parte (1):
a^{x}=e^{x\ln a}.
Essa é uma composição da função exponencial u\mapsto e^{u} com a função linear x\mapsto u(x)=x\ln a.
Passo 8
Derivada da exponencial composta: sabemos que a derivada da exponencial em relação ao seu argumento é ela mesma:
\frac{d}{du}\bigl(e^{u}\bigr)=e^{u}.
Aplicando a regra da cadeia com u(x)=x\ln a (notando que \ln a é constante), temos