Exercício 31.

  1. Mostre que a^{x}=e^{x \ln a}.
  2. Usando a regra da cadeia mostre que
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{x}}\right)=\ln (\mathrm{a}) \mathrm{a}^{\mathrm{x}} .

Passo 1

O enunciado tem duas partes claras:
  1. Mostrar que \displaystyle a^{x}=e^{x \ln a}.
  2. Usando a regra da cadeia, mostrar que \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(a^{x}\bigr)=\ln(a)\,a^{x}.
Informações relevantes que o enunciado dá (e que vamos usar): a é uma constante positiva (ou seja, a>0) e x é uma variável real. Não há outras restrições. A primeira parte pede uma identidade entre duas formas de escrever uma potência com base a; a segunda pede a derivada dessa potência em relação a x.

Passo 2

Vamos lembrar / aprender o que são e^x e \ln x e uma propriedade básica dos logaritmos.
  • A função exponencial natural é \displaystyle x\mapsto e^{x}. É uma função bem conhecida, contínua e derivável, e tem a propriedade importante
e^{\ln y}=y\quad\text{para todo }y>0,
pois \ln é a função inversa de e^{x}.
  • A função \ln x (logaritmo natural) é definida para x>0 e satisfaz a propriedade
\ln\bigl(y^t\bigr)=t\ln y
quando t é um número racional (isso vem das propriedades elementares de potências e logaritmos). Essa propriedade será usada para começar a provar a identidade pedida.
Aqui: \ln a é um número fixo (constante) quando a>0.

Passo 3

Mostramos a identidade primeiro para expoentes inteiros positivos n. Partimos de e^{\ln a}=a. Elevando ambos os lados à potência n (produto repetido), obtemos
\bigl(e^{\ln a}\bigr)^{n}=a^{n}.
Pelo fato de propriedades de exponenciais, o lado esquerdo é
\bigl(e^{\ln a}\bigr)^{n}=e^{n\ln a}.
Logo, para todo inteiro n\ge 1,
a^{n}=e^{n\ln a}.
Isso já mostra a identidade para expoentes inteiros positivos.

Passo 4

Agora estendemos para expoentes inteiros negativos e zero. Para n=0 a igualdade é trivial: a^{0}=1=e^{0\cdot\ln a}. Para inteiro negativo -n (com n>0),
a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}=\frac{1}{e^{n\ln a}}=e^{-n\ln a}.
Portanto a igualdade a^{m}=e^{m\ln a} vale para todo m\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Agora tratamos expoentes racionais. Seja r=\dfrac{p}{q} com p\in\mathbb{Z} e q\in\mathbb{N}. Definimos a^{1/q} como a raiz q-ésima positiva de a (isso existe pois a>0). Seja y=a^{1/q}; então y^{q}=a. Tirando logaritmo natural em ambos os lados,
q\ln y=\ln a \quad\Rightarrow\quad \ln y=\frac{\ln a}{q}.
Exponenciando,
y=e^{\ln y}=e^{\ln a / q}.
Então
a^{1/q}=e^{\ln a / q}.
Elevando ambos os lados à potência p,
a^{p/q}=\bigl(a^{1/q}\bigr)^{p}= \bigl(e^{\ln a / q}\bigr)^{p}=e^{p\ln a / q}.
Assim a igualdade vale para todo r\in\mathbb{Q}:
a^{r}=e^{r\ln a}.

Passo 6

Para passar dos racionais para todos os reais usamos continuidade. Argumento intuitivo e padrão: as funções x\mapsto a^{x} (definida primeiro para racionais e então estendida por continuidade) e x\mapsto e^{x\ln a} são contínuas em \mathbb{R}. Como elas coincidem em todos os racionais (conjunto denso em \mathbb{R}), por continuidade elas coincidem em todos os reais. Portanto, para todo x\in\mathbb{R}
a^{x}=e^{x\ln a},
que é exatamente o que o enunciado pede na parte (1).

Passo 7

Agora vamos derivar \displaystyle a^{x} usando a regra da cadeia. Primeiro recorde da regra da cadeia de forma verbal: se temos uma função composta F(x)=f\bigl(g(x)\bigr), e f é derivável em g(x) e g é derivável em x, então
F'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
No nosso caso vamos usar a expressão obtida na parte (1):
a^{x}=e^{x\ln a}.
Essa é uma composição da função exponencial u\mapsto e^{u} com a função linear x\mapsto u(x)=x\ln a.

Passo 8

Derivada da exponencial composta: sabemos que a derivada da exponencial em relação ao seu argumento é ela mesma:
\frac{d}{du}\bigl(e^{u}\bigr)=e^{u}.
Aplicando a regra da cadeia com u(x)=x\ln a (notando que \ln a é constante), temos
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x\ln a}\bigr)=\frac{d}{du}\bigl(e^{u}\bigr)\Big|_{u=x\ln a}\cdot \frac{d}{dx}\bigl(x\ln a\bigr).
Calculamos a segunda derivada: \dfrac{d}{dx}(x\ln a)=\ln a, pois \ln a é constante e a derivada de x é 1.

Passo 9

Substituindo os termos no resultado da regra da cadeia obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x\ln a}\bigr)=e^{x\ln a}\cdot \ln a.
Usando a igualdade da Parte (1), e^{x\ln a}=a^{x}, concluímos
\frac{d}{dx}\bigl(a^{x}\bigr)=\ln a\; a^{x}.
Esse é o resultado pedido na parte (2).

Resposta

\displaystyle a^{x}=e^{x\ln a}
\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(a^{x}\bigr)=\ln(a)\,a^{x}

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