Exercício 28. Prove a “Regra do Quociente”: Sejam
e
funções diferenciáveis com
então
Passo 1
O enunciado dá as seguintes hipóteses e pede uma conclusão clara.
-
Hipóteses:
- São dadas duas funções diferenciáveis
e num ponto (ou numa vizinhança) contendo . - Está garantido que
.
- São dadas duas funções diferenciáveis
-
Pedido:
- Mostrar que a derivada da função quociente
em existe e que vale
- Mostrar que a derivada da função quociente
Passo 2
Lembra do significado de derivada (isso é importante para a prova): a derivada de uma função
em
é o limite
quando esse limite existe. Diferenciável em
significa que esse limite existe. Além disso, diferencialidade implica continuidade em
, isto é, se
é diferenciável em
então
Usarei esses fatos várias vezes.
Passo 3
Começamos aplicando diretamente a definição de derivada à função quociente
. Escrevemos
Vamos juntar as frações do numerador para manipular o limite. Fazendo a subtração de frações obtemos
Portanto
Passo 4
Agora vamos reescrever o numerador de forma a separar os incrementos de
e de
. Observe a identidade algébrica
Substituindo essa identidade na expressão do passo anterior obtemos
Passo 5
Separe a fração em duas parcelas (uso da propriedade de linearidade do limite será feito em seguida). Dividindo termo a termo obtemos
Simplificando um fator
na primeira parcela e colocando um fator
na segunda, isso fica
Portanto
Passo 6
Agora avaliamos o limite termo a termo. Para isso usamos que
e
são diferenciáveis em
, logo
converge para
e
converge para
. Também usamos que diferenciabilidade de
implica continuidade, então
. Como
, para
suficientemente pequeno
também é não nulo, e temos
Escrevendo cada parcela como um produto de termos cujo limite conhecemos:
e
Tomando limites e usando a regra do produto para limites (produto dos limites), obtemos
e
Substituindo esses resultados na expressão do passo anterior e lembrando do fator
na segunda parcela, obtemos
Passo 7
Finalmente, juntamos os termos numa única fração. Multiplicando a primeira parcela por
para fazer denominador comum, temos
Isso é exatamente a fórmula da Regra do Quociente que queríamos provar.