Exercício 28. Prove a “Regra do Quociente”: Sejam f e g funções diferenciáveis com g(x) \neq 0 então
\left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x)}{[g(x)]^{2}}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes hipóteses e pede uma conclusão clara.
  • Hipóteses:
    • São dadas duas funções diferenciáveis f e g num ponto (ou numa vizinhança) contendo x.
    • Está garantido que g(x)\neq 0.
  • Pedido:
    • Mostrar que a derivada da função quociente \dfrac{f}{g} em x existe e que vale
    \left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x)}{[g(x)]^{2}}.

Passo 2

Lembra do significado de derivada (isso é importante para a prova): a derivada de uma função h em x é o limite
h'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{h(x+h)-h(x)}{h},
quando esse limite existe. Diferenciável em x significa que esse limite existe. Além disso, diferencialidade implica continuidade em x, isto é, se g é diferenciável em x então
\lim_{h\to 0}g(x+h)=g(x).
Usarei esses fatos várias vezes.

Passo 3

Começamos aplicando diretamente a definição de derivada à função quociente \dfrac{f}{g}. Escrevemos
\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\dfrac{f(x+h)}{g(x+h)}-\dfrac{f(x)}{g(x)}}{h}.
Vamos juntar as frações do numerador para manipular o limite. Fazendo a subtração de frações obtemos
\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x+h)g(x)}.
Portanto
\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{h\,g(x+h)g(x)}.

Passo 4

Agora vamos reescrever o numerador de forma a separar os incrementos de f e de g. Observe a identidade algébrica
f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h) =[f(x+h)-f(x)]\,g(x)-f(x)\,[g(x+h)-g(x)].
Substituindo essa identidade na expressão do passo anterior obtemos
\left(\frac{f}{g}\right)'(x) =\lim_{h\to 0}\frac{[f(x+h)-f(x)]\,g(x)-f(x)\,[g(x+h)-g(x)]}{h\,g(x+h)g(x)}.

Passo 5

Separe a fração em duas parcelas (uso da propriedade de linearidade do limite será feito em seguida). Dividindo termo a termo obtemos
\frac{[f(x+h)-f(x)]\,g(x)}{h\,g(x+h)g(x)} -\frac{f(x)\,[g(x+h)-g(x)]}{h\,g(x+h)g(x)}.
Simplificando um fator g(x) na primeira parcela e colocando um fator \dfrac{f(x)}{g(x)} na segunda, isso fica
\frac{f(x+h)-f(x)}{h\,g(x+h)} -\frac{f(x)}{g(x)}\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h\,g(x+h)}.
Portanto
\left(\frac{f}{g}\right)'(x) =\lim_{h\to 0}\left( \frac{f(x+h)-f(x)}{h\,g(x+h)} -\frac{f(x)}{g(x)}\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h\,g(x+h)} \right).

Passo 6

Agora avaliamos o limite termo a termo. Para isso usamos que f e g são diferenciáveis em x, logo \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} converge para f'(x) e \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} converge para g'(x). Também usamos que diferenciabilidade de g implica continuidade, então \lim_{h\to 0}g(x+h)=g(x). Como g(x)\neq 0, para h suficientemente pequeno g(x+h) também é não nulo, e temos
\lim_{h\to 0}\frac{1}{g(x+h)}=\frac{1}{g(x)}.
Escrevendo cada parcela como um produto de termos cujo limite conhecemos:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h\,g(x+h)} =\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot\frac{1}{g(x+h)}
e
\frac{g(x+h)-g(x)}{h\,g(x+h)} =\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\cdot\frac{1}{g(x+h)}.
Tomando limites e usando a regra do produto para limites (produto dos limites), obtemos
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h\,g(x+h)}=f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)}=\frac{f'(x)}{g(x)}
e
\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h\,g(x+h)}=g'(x)\cdot\frac{1}{g(x)}=\frac{g'(x)}{g(x)}.
Substituindo esses resultados na expressão do passo anterior e lembrando do fator \dfrac{f(x)}{g(x)} na segunda parcela, obtemos
\left(\frac{f}{g}\right)'(x) =\frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)}{g(x)}\cdot\frac{g'(x)}{g(x)}.

Passo 7

Finalmente, juntamos os termos numa única fração. Multiplicando a primeira parcela por \dfrac{g(x)}{g(x)} para fazer denominador comum, temos
\frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}} =\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}.
Isso é exatamente a fórmula da Regra do Quociente que queríamos provar.

Resposta

\left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x)}{[g(x)]^{2}}

Exercícios relacionados