Prove que
dd x(cossec(x))=-cossec(x) cotg(x)

Passo 1

O objetivo é calcular a derivada da função cossec(x), ou seja mostrar que tfracddxl(cossec(x)r)=-cossec(x),cotg(x). Vamos usar regra da cadeia e a definição de derivada de função recíproca.

Passo 2

Primeiro, escrevemos cossec(x) como recíproco de sin(x):
cossec(x)=1sin(x)
E lembramos que, para u(x)neq0, vale
ddxl(tfrac1u(x)r)=-u'(x)[u(x)]^2

Passo 3

Aplicando essa fórmula com u(x)=sin(x), temos u'(x)=cos(x). Logo:
ddxl(tfrac1sin(x)r)=-cos(x)sin^2(x)

Passo 4

Para finalizar, usamos as definições trigonométricas:
1sin(x)=cossec(x), cos(x)sin(x)=cotg(x)
Assim:
-cos(x)sin^2(x)=-1sin(x)cdotcos(x)sin(x)=-cossec(x),cotg(x)

Resposta

-\operatorname{cossec}(x),\operatorname{cotg}(x)

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