Encontre as derivadas das seguintes funções:
\left(\right. Valor 1) f(x)=[\operatorname{tg}(5-3 x)]^{4},

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x) = [\operatorname{tg}(5-3x)]^{4}.
Informações dadas:
\text{função } f(x) = [\operatorname{tg}(5-3x)]^{4},çã
e a única coisa que precisamos entregar é f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Conceito importante (cadeia + potência): se temos uma função composta da forma (\text{algo})^{n}, usamos a regra da cadeia combinada com a regra da potência. A regra geral é:
\text{se } F(x) = (u(x))^{n}, \text{ então } F'(x) = n\,(u(x))^{n-1}\,u'(x).ã
Aqui u(x) é a parte interna (a “coisa” que está sendo elevada), n é o expoente, u'(x) é a derivada da parte interna. Essa fórmula vem da aplicação da derivada da potência t^n \mapsto n t^{n-1} seguida por multiplicar pela derivada do argumento (regra da cadeia).

Passo 3

Identificação das partes na nossa função:
u(x) = \operatorname{tg}(5-3x) \quad\text{e}\quad n = 4.
Aplicando a regra da potência para a parte externa, obtemos inicialmente
f'(x) = 4\,[u(x)]^{3}\,u'(x) = 4\,[\operatorname{tg}(5-3x)]^{3}\,u'(x).
Agora falta calcular u'(x), a derivada de \operatorname{tg}(5-3x).

Passo 4

Derivada da tangente e derivada da parte interna linear:
  • Regra do trigonométrico: a derivada de \operatorname{tg}(w) em relação a w é
\frac{d}{dw}\operatorname{tg}(w) = \operatorname{sec}^{2}(w).
(Obs.: \operatorname{sec} é a secante, e \operatorname{sec}^{2}w significa (\operatorname{sec} w)^{2}.)
  • A parte interna é w(x)=5-3x. Como é uma função linear ax+b, sua derivada é simplesmente o coeficiente de x:
\frac{d}{dx}(5-3x) = -3.
Usando a cadeia para u(x)=\operatorname{tg}(w(x)), temos
u'(x) = \operatorname{sec}^{2}(w(x))\cdot w'(x) = \operatorname{sec}^{2}(5-3x)\cdot(-3) = -3\,\operatorname{sec}^{2}(5-3x).

Passo 5

Substituindo u'(x) em f'(x) do Passo 3:
f'(x) = 4\,[\operatorname{tg}(5-3x)]^{3}\cdot\big(-3\,\operatorname{sec}^{2}(5-3x)\big).
Fazendo a simplificação multiplicativa:
f'(x) = -12\,[\operatorname{tg}(5-3x)]^{3}\,\operatorname{sec}^{2}(5-3x).

Passo 6

Forma equivalente usando identidade trigonométrica: lembrando que
\operatorname{sec}^{2}(y) = 1 + \operatorname{tg}^{2}(y),
podemos escrever outra forma útil da derivada:
f'(x) = -12\,[\operatorname{tg}(5-3x)]^{3}\,\big(1+\operatorname{tg}^{2}(5-3x)\big).
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais clara na hora da prova.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar (modelo menor): se g(x)=[\operatorname{tg}(2x)]^{3}, então
g'(x)=3[\operatorname{tg}(2x)]^{2}\cdot\operatorname{sec}^{2}(2x)\cdot 2 = 6[\operatorname{tg}(2x)]^{2}\operatorname{sec}^{2}(2x).
O padrão é sempre: expoente vezes a função interna ao expoente menos um, vezes derivada da função interna.

Passo 8

Dica prática para prova: sempre faça em três passos mentais — (1) identifique a parte externa e aplique a regra da potência, (2) derive a parte interna (aqui trigonométrica + linear), (3) multiplique e simplifique constantes. Respira, faz passo a passo e pronto. Você consegue — foco e calma!

Resposta

f'(x) = -12\,[\operatorname{tg}(5-3x)]^{3}\,\operatorname{sec}^{2}(5-3x)

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