Encontre as derivadas das seguintes funções:
Valor 1)
,
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas:
e a única coisa que precisamos entregar é
, a derivada de
em função de
.
Passo 2
Conceito importante (cadeia + potência): se temos uma função composta da forma
, usamos a regra da cadeia combinada com a regra da potência. A regra geral é:
Aqui
é a parte interna (a “coisa” que está sendo elevada),
é o expoente,
é a derivada da parte interna. Essa fórmula vem da aplicação da derivada da potência
seguida por multiplicar pela derivada do argumento (regra da cadeia).
Passo 3
Identificação das partes na nossa função:
Aplicando a regra da potência para a parte externa, obtemos inicialmente
Agora falta calcular
, a derivada de
.
Passo 4
Derivada da tangente e derivada da parte interna linear:
- Regra do trigonométrico: a derivada de
em relação a é
(Obs.:
é a secante, e
significa
.)
- A parte interna é
. Como é uma função linear , sua derivada é simplesmente o coeficiente de :
Usando a cadeia para
, temos
Passo 5
Substituindo
em
do Passo 3:
Fazendo a simplificação multiplicativa:
Passo 6
Forma equivalente usando identidade trigonométrica: lembrando que
podemos escrever outra forma útil da derivada:
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais clara na hora da prova.
Passo 7
Exemplo rápido para fixar (modelo menor): se
, então
O padrão é sempre: expoente vezes a função interna ao expoente menos um, vezes derivada da função interna.
Passo 8
Dica prática para prova: sempre faça em três passos mentais — (1) identifique a parte externa e aplique a regra da potência, (2) derive a parte interna (aqui trigonométrica + linear), (3) multiplique e simplifique constantes. Respira, faz passo a passo e pronto. Você consegue — foco e calma!