(Valor 2) Determine os valores das constantes reais c e d de modo que a função abaixo seja contínua nos pontos x=-1 e x=2, justificando sua resposta.
f(x)=\left\{\begin{array}{c} c x+4 \text { se } x<-1 \\\ x^{2}+d x+4 \text { se }-1 \leq x \leq 2 \\\\ -c x+2 \text { se } x>2 \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores das constantes reais c\) e \(d\) de modo que a função \(f\) seja contínua nos pontos \(x=-1\) e \(x=2\).
As informações dadas são a definição por partes de \(f(x)\):
\[f(x)=\begin{cases} c x+4 & \text{se } x<-1,\\[4pt] x^{2}+d x+4 & \text{se } -1\le x\le 2,\\[4pt] -c x+2 & \text{se } x>2. \end{cases}
Portanto precisamos escolher c\] e \(d de forma que não haja “salto” em x=-1 nem em x=2.]
Passo 2
Lembrete didático sobre continuidade em um ponto (explicação passo a passo):
Uma função f é contínua em um ponto x=a se e somente se as três quantidades abaixo existirem e forem iguais:
Isto significa que o limite vindo da esquerda deve ser igual ao valor da função no ponto e também igual ao limite vindo da direita. Na prática para funções definidas por partes, em cada ponto de transição igualamos o valor do ramo à esquerda com o valor do ramo no ponto (ou à direita), conforme adequado. Vamos aplicar isso em x=-1 e x=2.
Passo 3
Continuidade em x=-1. Calcule o limite vindo da esquerda (usando o ramo c x+4) e o valor em -1 (usando o ramo do meio x^{2}+d x+4).
Limite à esquerda:
\lim_{x\to -1^-} f(x)=c\cdot(-1)+4 = -c+4.
Valor no ponto (pegando da definição para -1\le x\le 2):
f(-1)=(-1)^{2}+d\cdot(-1)+4 = 1-d+4 = 5-d.
Passo 4
Igualando limite à esquerda e valor em -1 (condição de continuidade em -1):
-c+4 = 5-d.
Reescrevendo essa equação para ficar mais clara:
d-c = 1.
Passo 5
Continuidade em x=2. Calcule o valor no ponto (ramo do meio) e o limite vindo da direita (ramo -c x+2 para x>2).
Valor no ponto:
f(2)=2^{2}+d\cdot 2+4 = 4+2d+4 = 8+2d.
Limite à direita:
\lim_{x\to 2^+} f(x)= -c\cdot 2 + 2 = -2c+2.
Passo 6
Igualando valor em 2 e limite à direita (condição de continuidade em 2):
8+2d = -2c+2.
Dividindo toda a equação por 2 (para simplificar):
4+d = -c+1.
Reescrevendo em forma linear simples:
d + c = -3.
(Obtivemos assim um sistema linear com as duas condições.)
Passo 7
Resolver o sistema formado pelas duas equações:
\begin{cases} d - c = 1,\\[4pt] d + c = -3. \end{cases}